C++：第十三讲BFS广度优先搜索

前言

今天带领大家学一下BFS。

DFS可以看——C++:第十二讲DFS深搜（二）_c++匿名函数dfs-CSDN博客

BFS简介

广度优先搜索（breadth-first search，缩写为bfs）又名宽度优先搜索，是最简便的图的搜索算法之一，这一算法也是很多重要的图的算法的原型。其别名又叫BFS，属于一种盲目搜寻法，目的是系统地展开并检查图中的所有节点，以找寻结果。BFS算法从问题的初始状态（起点）出发，根据状态转换规则（图结构中的边），遍历所有可能的状态（其他节点），直到找到终结状态（终点）。因此BFS算法的复杂度和状态集合的总数密切相关。首先访问初始顶点vi，并将其标记为已访问；接着访问vi的所有未被访问过的邻接点vi1，vi2，…，vit，并均标记为已访问；(注意与DFS算法比较)

为什么要用到BFS呢？有的时候，对于DFS而言会陷入搜索过深仍然找不到解，也就意味着超时。因此，BFS就来了。尤其在连通性，最短路等问题。

例题1——洛谷P1605迷宫

链接——BFS（洛谷P1162）

题目描述

由数字 0 组成的方阵中，有一任意形状的由数字 1 构成的闭合圈。现要求把闭合圈内的所有空间都填写成 2。例如：6×6 的方阵（n=6），涂色前和涂色后的方阵如下：

如果从某个 0出发，只向上下左右 4 个方向移动且仅经过其他 0 的情况下，无法到达方阵的边界，就认为这个 0在闭合圈内。闭合圈不一定是环形的，可以是任意形状，但保证闭合圈内的 0 是连通的（两两之间可以相互到达）。

0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 1 1
0 1 1 2 2 1
1 1 2 2 2 1
1 2 2 1 2 1
1 1 1 1 1 1

输入格式

每组测试数据第一行一个整数 n(1≤n≤30)。

接下来 n 行，由 0 和 1组成的 n×n 的方阵。

方阵内只有一个闭合圈，圈内至少有一个 0。

输出格式

已经填好数字 2的完整方阵。

输入输出样例

输入 #1

6
0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 1
1 1 1 1 1 1

输出 #1

0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 2 2 1
1 1 2 2 2 1
1 2 2 2 2 1
1 1 1 1 1 1

说明/提示

对于 100% 的数据，1≤n≤30。

解题思路

首先，分析题目，这是要将闭合的“1”里面的“0”改写成“2”，然后输出。由此，我们猛然发觉，只要‘0’的联通块中，没有在边界，就是闭合的‘0’；（发现这个，就等于做对了一半；）因为，从正面推，找闭合中的‘0’不好找。所以，蒟蒻想到，运用BFS或者DFS直接搜索边界中‘0’，所在的联通块，然后标记。最后输出时，去除‘1’点和标记了的点，剩下的输出为‘2’，就是正解啦！！！

AC

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int N,A[55][55];
bool Flag[55][55];
int Dx[5]={0,-1,1,0,0};
int Dy[5]={0,0,0,-1,1};
void DFS(int i,int j){
	//越界 
	if(i<0||j<0||i>N+1||j>N+1) return ;
	//遍历过或者为1 
	if(Flag[i][j]==true||A[i][j]==1) return;
	Flag[i][j]=true; 
	for(int nx=1;nx<=4;nx++) DFS(i+Dx[nx],j+Dy[nx]);
	return ;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>N;
	//最外面的零层都是零（相当于在外面套一圈）
	//避免从左上角开始时是1 
	for(int i=1;i<=N;i++)
	 for(int j=1;j<=N;j++)
	    cin>>A[i][j]; 
	DFS(0,0);
	for(int i=1;i<=N;i++){	 
	  for(int j=1;j<=N;j++){
	 	//搜索不到的零 
	 	if(!A[i][j]&&Flag[i][j]==false) cout<<2<<" ";
		else cout<<A[i][j]<<" "; 
	  }
	  cout<<endl;	
	}

	return 0;
}

例题2——洛谷P1443马的遍历

链接——BFS（洛谷P1443）

题目描述

有一个 n×m 的棋盘，在某个点 (x,y) 上有一个马，要求你计算出马到达棋盘上任意一个点最少要走几步。

输入格式

输入只有一行四个整数，分别为 n,m,x,y。

输出格式

一个n×m 的矩阵，代表马到达某个点最少要走几步（不能到达则输出 −1−1）。

输入输出样例

输入 #1

3 3 1 1

输出 #1

0    3    2
3    -1   1
2    1    4

说明/提示

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 1≤x≤n≤400，1≤y≤m≤400。

解题思路

选择解决方案：

从一个点出发，搜寻另外的点，这明显是一道关于搜索的题目。至于用到深搜还是广搜，见下表：

从上图我们看到，BFS专门用于解决求两点之间最短路的问题，而DFS是用来解决求一个点到另一个点路径总数的问题。显然地，这题用到的是BFS。

注意事项：

“马走日，象走田”，在棋盘上，马按照“日”字的走法移动，对应到我们的数组大概是这样的：

（PS:其中红色为出发点，黄色为可到达的点）

我们发现，从[4][6]a[4][6]出发，可到达的点为：[2][5]a[2][5]、[3][4]a[3][4]、[2][7]a[2][7]、[3][8]a[3][8]、[5][4]a[5][4]、[6][5]a[6][5]、[6][7]a[6][7]、[5][8]a[5][8]。

AC

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,x,y;
int hor[405][405];
bool vis[405][405];
int dx[]={1,2,-1,-2,-2,-1,1,2};
int dy[]={2,1,2,1,-1,-2,-2,-1};
void bfs(){
	queue<int> x1;
	queue<int> y1;
	//将马的初始位置放入队列中
	x1.push(x);
	y1.push(y);
	while(!x1.empty()){
		for(int i=0;i<8;i++){
			int xx=x1.front()+dx[i];
			int yy=y1.front()+dy[i];
			if(xx>=1&&xx<=n&&yy>=1&&yy<=m&&!vis[xx][yy]){
				vis[xx][yy]=true;
				hor[xx][yy]=hor[x1.front()][y1.front()]+1;
				x1.push(xx);
				y1.push(yy);
			}	
		}
		x1.pop();
		y1.pop();
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m>>x>>y;
	memset(hor,-1,sizeof(hor));
	hor[x][y]=0;
	vis[x][y]=true;
	bfs();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			printf("%-5d",hor[i][j]);
		}
		cout<<endl;
	}
}

课后练习（拓展难题）

链接——BFS（洛谷P1902）

题目描述

某组织正在策划一起对某大使的刺杀行动。他们来到了使馆，准备完成此次刺杀，要进入使馆首先必须通过使馆前的防御迷阵。

迷阵由 n×m 个相同的小房间组成，每个房间与相邻四个房间之间有门可通行。在第 n 行的 m 个房间里有 m 个机关，这些机关必须全部打开才可以进入大使馆。而第 11 行的 m 个房间有 m 扇向外打开的门，是迷阵的入口。除了第 11 行和第 n 行的房间外，每个房间都被使馆的安保人员安装了激光杀伤装置，将会对进入房间的人造成一定的伤害。第 i 行第 j 列造成的伤害值为 pi,j（第 11 行和第 n 行的 p 值全部为 00）。

现在某组织打算以最小伤害代价进入迷阵，打开全部机关，显然，他们可以选择任意多的人从任意的门进入，但必须到达第 n 行的每个房间。一个士兵受到的伤害值为他到达某个机关的路径上所有房间的伤害值中的最大值，整个部队受到的伤害值为所有士兵的伤害值中的最大值。现在，这个恐怖组织掌握了迷阵的情况，他们需要提前知道怎么安排士兵的行进路线可以使得整个部队的伤害值最小。

输入格式

第一行有两个整数 n,m，表示迷阵的大小。

接下来 n 行，每行 m 个数，第 i 行第 j 列的数表示 pi,j。

输出格式

输出一个数，表示最小伤害代价。

输入输出样例

输入 #1

4 2
0 0
3 5
2 4
0 0

输出 #1

说明/提示

50%的数据，n,m≤100；
100%的数据，n,m≤1000，pi,j≤1000。

解题思路

题目概括出来,很容易想到二分。

求最大值最小,因此我们可以对最大伤害值进行二分。

如果某位置所受伤害值大于我们当前所限制的伤害值,我们肯定是不走这条路的.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e5+5;
typedef long long ll;
typedef pair<ll,ll> pll;
int mod=1e9+7;
const int maxv=4e6+5;
ll n,m;
int a[1005][1005];
int get(int x,int y)//得到点的编号
{
	return (x-1)*m+y;
}
int p[maxv];
struct node
{
	int u,v,w;
}e[maxv];
int k;
int find(int x)
{
	if(p[x]!=x) return p[x]=find(p[x]);
	return p[x];
}
void solve()
{	
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
			int c=get(i,j);
			p[c]=c;
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			int u=get(i,j);
			int v1=get(i+1,j);
			int v2=get(i,j+1);
			if(i+1<=n) e[k++]={u,v1,max(a[i][j],a[i+1][j])};
			if(j+1<=m) e[k++]={u,v2,max(a[i][j],a[i][j+1])};
		}
	}
	sort(e,e+k,[](node a,node b){
		return a.w<b.w;
	});
	int ans=0;
	int st=1,ed=n*m;
	for(int i=0;i<k;i++){
		int u=e[i].u,v=e[i].v,w=e[i].w;
		//cout<<u<<" "<<v<<" "<<w<<endl;
		int fu=find(u),fv=find(v);
		if(fu!=fv){
			p[fu]=fv;
			ans=max(ans,w);
		}
		if(find(st)==find(ed)) break;
	}
	cout<<ans<<endl;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	int t;
	t=1;
	while(t--){
		solve();
	}
	system("pause");
	return 0;
}