参考

• 3Blue1Brown系列：特征向量和特征值
• 第十章 线性代数之 特征向量与特征值】3Blue1Brown
• 知乎：线性代数的本质10 特征向量和特征值

一：特征向量与特征值概念引入

我们知道，基向量$i=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$和$j=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$会通过$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$变换为$i=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\right)$和$j=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$，所以通过矩阵$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$就可以描述这个变换

如下图，黄色向量张成的空间为粉色直线，在矩阵$\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$所描述的变化下、，黄色向量离开了它原来张成的空间，这是因为黄色向量既有缩放又有旋转变换

• 如果黄色向量只有缩放没有旋转，那么最终黄色向量会和粉色向量重合

如下图，由于黄色向量只经历了缩放而没有经历旋转，所以黄色向量仍然留在原来张成的空间上

特征向量和特征值：如果某向量经过线性变换后仍然停留在其变换前的张成空间中，则称此类向量为特征向量；而特征值指的就是该特征向量被拉伸或压缩时的比例因子。也即可以这样理解它们，一个向量$v$在矩阵变换$A$下得到了一个新的向量$Av$，该向量等于将原来的向量$v$缩放$\lambda$倍，即

$$Av=\lambda v$$

特征向量和特征值描述了这样一个事实：我们知道，变换矩阵会对原向量进行旋转和缩放然后得到新向量。此时，如果得出的新向量与原向量方向相同，只是在大小上存在区别，则称变化前的向量为变换矩阵的特征向量，同时，变化矩阵只对原向量进行缩放操作，旋转角度为0。变换前后矩阵特征向量的缩放比例称为该变换矩阵的特征值

假设特征值为1，特征向量为$v$，则有$Av=1\cdot v$

假设特征值为$-\frac{1}{2}$，特征向量为$v$，则有$Av=-\frac{1}{2}\cdot v$

如果考虑一个三维空间中的旋转变化，该变化的特征向量就是旋转轴，在这种旋转变化中，特征值为1，因为空间只发生旋转而不会有拉伸和压缩

二：特征向量与特征值概念求解

对于下面的定义式，现在等式两边类型不统一

$$Av=\lambda v$$

在等式右面加入单位矩阵$I$，使其也变为“矩阵乘向量”的形式

$$Av=(\lambda I)v$$

移动到左面

$$Av-(\lambda I)v=0$$

将$v$提出来之后，此式就可以看作向量$v$在矩阵$(A-\lambda I)$的作用下变成了零向量

$$(A-\lambda I)v=0$$

这说明这个矩阵具有压缩向量的作用，可以将非零向量压缩为零向量。所以我们需要一个非零解$v$，使得矩阵和它的乘积为零向量，而空间压缩其本质就是矩阵行列式为零，也即

$$det(A-\lambda I)=0$$

例如下图，当$\lambda$改变时，矩阵也在改变，行列式的值同样在改变

当$\lambda =1$时，空间被压缩到低维度上（即行列式为0）

三：特征向量与特征值概念注意

1：二维线性变换不一定都有特征向量

如下图，黄色向量经过矩阵作用后并没有停留在原来张成的空间中

并且通过运算也可得知，它没有实数解

2：同一个特征值可能对应多个特征向量，这几个特征向量可能不在一条直线上

如下图，利用一个矩阵将所有向量都变为两倍，此时存在唯一特征值是2，但是平面内每一个向量都是属于这个特征值的特征向量

四：如果基向量就是特征向量（特征基）

如果所有基向量都是特征向量，那么此时矩阵的对角元就是他们所属的特征值，该矩阵为对角阵