1 码元、速率、波特、带宽

1.1 码元

码元：数字通信中数字信号的计量单位，1 码元可以携带若干比特的信息量，一个码元即一个波形（或一个脉冲信号）

举例说明码元与编码的关系：

• 假设使用二进制编码，则：
  • 二进制码元：两种不同的码元，一个码元能携带 1bit 数据，代表 0 状态、1 状态
  • 四进制码元：四种不同的码元，一个码元能携带 2bit 数据，代表 00 状态、01 状态、10 状态、11 状态
  • 八进制码元：八种不同的码元，一个码元能携带 3bit 数据，代表 000 状态、001 状态、010 状态、011 状态、100 状态、101 状态、110 状态、111 状态
• 假设使用四进制编码，则：
  • 二进制码元：两种不同的码元，一个码元能携带 1 位数据，代表 0 状态、1 状态（注意，因为此时不再使用二进制编码，所以不能说是 1bit 数据了！）
  • 四进制码元：四种不同的码元，一个码元能携带 1 位数据，代表 0 状态、1 状态、2 状态、3 状态
  • 八进制码元：八种不同的码元，一个码元能携带 2 位数据，代表 00 状态、01 状态、02 状态、03 状态、10 状态、11 状态、12 状态、13 状态

【注 1】以上为理论。在实际操作中，可通过调制信号的频率、相位、振幅来实现不同状态。比如，可以设定 00 状态为低振幅、01 状态为中振幅、10 状态为高振福、11 状态为超高振幅。

【注 2】不一定非得是 k 进制编码，也可使用你喜欢的方式去编码，比如可使用字母去编码，“00”代替 A，“01”代替 B，“10”代替 C，“11”代替 D。

【注 3】一般我们使用的都是二进制编码，做题的时候也默认使用二进制编码。

码元宽度（码元长度）：一个码元的持续时间，比如二进制编码中的四进制码元，一个 01 状态需要 2 秒钟表示，则码元宽度为 2 秒钟

1.2 波特率

波特率（码元传输速率）计算公式：波特率 = 码元个数 / 时间（单位：波特 baud）

含义：每秒能传输多少个码元。

【注意】波特率与进制数无关，只与码元长度有关。

【例】若 2 秒内传输 4800 个码元，则波特率是多少？

【解】4800 / 2s = 2400 baud。

1.3 比特率

比特率（信息传输速率）计算公式：比特率 = 比特个数 / 时间（单位：b/s，bps）

含义：每秒能传输多少个比特。

波特率与比特率的关系：C = B * log2V

• C：比特率（b/s）
• B：波特率（Baud）
• V：码元的状态数

假设使用二进制编码，则：

• 二进制码元：两种不同的码元，一个码元能携带 1bit 数据，比特率 = 波特率
• 四进制码元：四种不同的码元，一个码元能携带 2bit 数据，比特率 = 2 * 波特率
• 八进制码元：八种不同的码元，一个码元能携带 3bit 数据，比特率 = 3 * 波特率
• 十六进制码元：十六种不同的码元，一个码元能携带 4bit 数据，比特率 = 4 * 波特率

1.4 带宽

带宽计算公式：带宽 = 最高数据率 / 时间（单位：比特每秒，b/s，bps）

1.5 相关例题

【例 1】（1）某一数字通信系统传输的是四进制码元，4s 传输了 8000 个码元，求系统的码元传输速率是多少？信息传输速率是多少？

（2）若另一通信系统传输的是十六进制码元，6s 传输了 7200 个码元，求码元传输速率是多少？信息传输速率是多少？

【解】默认使用二进制编码，所以四进制码元占 log₂4 = 2 bit，十六进制码元占 log₂16 = 4 bit。

（1）波特率 = 8000 / 4s = 2000 baud，比特率 = (8000 * log₂4) / 4s = 4000 b/s。

（2）波特率 = 7200 / 6s = 1200 buad，比特率 = (7200 * log₂16) / 6s = 4800 b/s，显然十六进制码元更快。

【例 2】某通讯线路每 20ms 采样一次，每一个信号共有 64 种不同的状态，那么这个线路的传输速率是？

【解】默认使用二进制编码，所以一个码元占 log₂64 = 6 bit。

比特率 = 6b / 20ms = 3mb/s。

【例 3】测得一个以太网数据的波特率是 40mBaud，那么其数据率是？（注：以太网采用的是曼彻斯特编码，一个码元由半个比特组成，或一个比特对应两个码元）

【解】波特率 = 40mBaud，比特率 = 0.5 * 波特率 = 20mb/s。

【例 4】某信道的波特率为 1000Baud，若令其数据传输速率达到 4kb/s，则一个信号码元所取的有效离散值个数为？

【解】波特率 = 1000Baud = 1000 码元/s，即每秒传输 1000 个码元。

传输率 = 4kb/s，即每秒传输 4000 比特，则一个码元包含 4000/1000 = 4 个比特，一个码元可以表示的有效离散值个数为 2⁴ = 16。

【例 5】已知某信道的信号传输速率是 64kb/s，一个载波信号码元有 4 个有效离散值，则该信道的波特率为？

【解】默认使用二进制编码，所以一个码元占 log₂4 = 2 bit。

由比特率 = 2 * 波特率得波特率为 64/2 = 32kBaud。

【例 6】采用 8 种相位，每种相位各有两种幅度的 QAM 调制方法，在 1200Baud 的信号传输速率下能达到的数据传输速率为？

【解】正交振幅调制 QAM：调幅 + 调相，一个码元的信号状态 = 8 * 2 = 16 种。

数据传输速率 = 1200 * log₂16 = 4800b/s。

【注】正交振幅调制 QAM：调幅（ASK） + 调相（PSK），设波特率为 B，采用 m 个相位，每个相位有 n 种振幅，则该 QAM 技术的数据传输速率 = B * log₂(m * n) (b/s)。

2 奈氏准则、香农定理

2.1 奈氏准则（采样定理）

奈氏准则：

• 理想低通信道下的极限码元传输率 = 2W (Baud)
• 理想低通信道下的极限数据传输率 = 2W * log2V (b/s)

其中：

• W：带宽（Hz）
• V：码元的状态数
• 理想低通：无噪声、带宽有限

【注】奈氏准则只给出了对码元传输速率的限制，但并没有对信息传输速率作出限制。

2.2 香农定理

香农定理：信道的极限数据传输率 = W * log2(1+S/N) (b/s)

• W：带宽（Hz）
• S/N：信噪比 S/N（dB）= 10 * log10(S/N)
• 条件：带宽受限、有噪声

【注】若题目中既给出信噪比，又给出信号的状态数，则需要先使用香农定理和奈氏准则分别计算出极限数据传输率，然后取两者的最小值作为最终的极限数据传输率。

2.3 相关例题

【例 1】有一条无噪声的 8kHz 信道，每个信号包含 8 级，每秒采样 24k 次，那么可以获得的最大传输速率是？

【解】“每秒采样 24k 次”即带宽为 24kHz，计算出的最大码元传输速率 = 2W = 48kBaud；而取带宽为 8kHz，则计算出的最大码元传输速率 = 2W = 16kBaud。应取两者中的较小值即 16kBaud。

采用奈氏准则，则最大传输速率 = 2W * log₂V = 2 * 8k * log₂8 = 48kb/s。

【例 2】对于某带宽为 4000Hz 的低通信道，采用 16 种不同的物理状态来表示数据。按照奈奎斯特定理，信道的最大传输速率是？

【解】采用奈氏准则，最大传输速率 = 2W * log₂V = 2 * 4k * log₂16 = 32kb/s。

【例 3】二进制信号在信噪比为 127：1 的 4kHz 信道上传输，最大的数据速率可达到？

【解】若采用奈氏准则：极限数据传输率 = 2W * log₂V = 2 * 4k * log₂2 = 8kb/s。

若采用香农定理：极限数据传输率 = W * log₂(1+S/N) = 4k * log₂(1 + 127) = 28kb/s。

取两者较小值，即最大的数据速率为 8kb/s。

【例 4】在无噪声情况下，若某通信链路的带宽为 3kHz，采用 4 个相位，每个相位具有 4 种振幅的 QAM 调制技术，则该通信链路的最大数据传输速率是？

【解】正交振幅调制 QAM：调幅 + 调相，一个码元的信号状态 = 4 * 4 = 16 种。

采用奈氏准则，最大传输速率 = 2W * log₂V = 2 * 3k * log₂16 = 24kb/s。

【例 5】一个信道 1/8s 采样一次，传输信号共有 16 种变化状态，最大数据传输率是？

【解】一个码元包含 log₂16 = 4 个比特。

1/8s 采样一次，即 1s 采样 8 次，采样速率为 8 * 4 = 32b/s。

注意，数据传输率是小于等于采样速率的。

【例 6】电话系统的典型参数是信道带宽为 3000Hz，信噪比为 30dB，则该系统的最大数据传输速率为？

【解】信噪比：30dB = 10log₂(S/N)，所以 S/N = 1000.

采用香农定理：极限数据传输率 = W * log₂(1+S/N) = 3k * log₂(1 + 1000) = 30kb/s。

【例 7】若信道在无噪声的情况下的极限数据传输速率不小于信噪比为 30dB 条件下的极限数据传输速率，则信号状态数至少是？

【解】无噪声的情况对应奈氏准则，信噪比为 30dB（S/N = 1000） 的条件对应香农定理，则根据题意有：

2W * log₂V ≥ W * log₂(1+S/N)，

2 * log₂V ≥ log₂(1+S/N)，

2 * log₂V ≥ log₂(1+1000)，

化简得 log₂V ≥ 5，则 V ≥ 32。

【例 8】用 PCM 对语音进行数字量化，如果将声音划分为 128 个量化级，采样频率为 8000 次/s，那么一路话音需要的数据传输率为？

【解】量化：把连续的电平幅值转化成离散的数字量。

一次采样包含 log₂128 = 7 个比特，采样频率为 8000 次/s，那么一路话音需要的数据传输率 = 8000 * 7b/s = 56kb/s。

3 编码方式

3.1 归零编码（RZ）

规则：

• 码元为 1 时，电平为高电平，然后跳转为低电平；
• 码元为 0 时，电平为低电平。

特点：双方可以调整时钟基准，但归零损失一部分带宽。

3.2 非归零编码（NRZ）

规则：

• 码元为 1 时，电平为高电平；
• 码元为 0 时，电平为低电平。

特点：双方不能调整时钟基准，需要额外的时钟线。

3.3 反向归零编码（NRZI）

规则：

• 码元为 1 时，电平保持不变；
• 码元为 0 时，电平翻转。

特点：双方可以调整时钟基准，融合了以上两种方式的优点。

3.4 曼彻斯特编码

规则：

• 码元为 1 时，前半段为高电平，后半段为低电平；
• 码元为 0 时，前半段为低电平，后半段为高电平。

【注】也可采用相反的规则。

特点：每一个码元都被调成两个电平，数据传输速率只有调制速率的一半。

3.5 差分曼彻斯特编码

规则（同 1 异 0）：

• 码元为 1 时，前半段与上一个码元的后半段相同；
• 码元为 0 时，前半段与上一个码元的后半段相反；
• 每个码元中间必须有一次翻转，用以时钟同步。

特点：抗干扰能力比曼彻斯特编码强，常用于局域网传输。