不同像平面坐标系下Brown畸变系数转换

记$u,v$为像素为单位的坐标，f为焦距，单位也是像素。

记$x,y$为理想坐标。本文推导两种情况下的Brown畸变系数转换关系：

1. 相同坐标系定义、不同的坐标单位（像素坐标与归一化坐标）的畸变系数关系
2. 坐标系原点相同、y轴方向相反的坐标系之间畸变系数关系

像素坐标与归一化坐标的畸变系数的关系推导

像素为单位的畸变计算

使用像素坐标计算畸变值的公式为：

$$\{\begin{array}{l}du=u(K_1{r}^2+K_2{r}^4+K_3{r}^6)+P_1(r^2+2u^2)+2P_{2}uv\\ dv=v(K_1{r}^2+K_2{r}^4+K_3{r}^6)+P_2(r^2+2v^2)+2P_{1}uv\end{array}\text{\hspace{1em}(A)}$$

计算机视觉的归一化坐标畸变计算

记$u,v$为像素为单位的坐标，f为焦距，单位也是像素。计算机视觉使用归一化坐标：

$$\{\begin{array}{l}x=\frac{u}{f}\\ y=\frac{v}{f}\end{array}\text{\hspace{1em}(B)}$$

计算畸变值的公式为：

$$\{\begin{array}{l}dx=x(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_1(r^2+2x^2)+2p_{2}xy\\ dy=y(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_2(r^2+2y^2)+2p_{1}xy\end{array}\text{\hspace{1em}(C)}$$

推导过程

对比(A)、(C)两个公式，将(C)式中的x,y按照(B)替换为u,v的表达式，得：
$$\{\begin{array}{l}\frac{du}{f}=\frac{u}{f}(k_1\frac{R^2}{f^2}+k_2\frac{R^4}{f^4}+k_3\frac{R^6}{f^6})+p_1(\frac{R^2}{f^2}+2\frac{u^2}{f^2})+2p_2\frac{u}{f}\frac{v}{f}\\ \frac{dv}{f}=\frac{v}{f}(k_1\frac{R^2}{f^2}+k_2\frac{R^4}{f^4}+k_3\frac{R^6}{f^6})+p_2(\frac{R^2}{f^2}+2\frac{v^2}{f^2})+2p_1\frac{u}{f}\frac{v}{f}\end{array}\text{\hspace{1em}(D)}$$
其中，$R^2=u^2+v^2$

整理得：
$$\{\begin{array}{l}\frac{du}{f}=\frac{u}{f}(\frac{k_1}{f^2}{R}^2+\frac{k_2}{f^4}{R}^4+\frac{k_3}{f^6}{R}^6)+\frac{p_1}{f^2}(R^2+2u^2)+2\frac{p_2}{f^2}uv\\ \frac{dv}{f}=\frac{v}{f}(\frac{k_1}{f^2}{R}^2+\frac{k_2}{f^4}{R}^4+\frac{k_3}{f^6}{R}^6)+\frac{p_2}{f^2}(R^2+2v^2)+2\frac{p_1}{f^2}uv\end{array}\text{\hspace{1em}(E)}$$

(E)式两边乘f，得：
$$\{\begin{array}{l}du=u(\frac{k_1}{f^2}{R}^2+\frac{k_2}{f^4}{R}^4+\frac{k_3}{f^6}{R}^6)+\frac{p_1}{f}(R^2+2u^2)+2\frac{p_2}{f}uv\\ dv=v(\frac{k_1}{f^2}{R}^2+\frac{k_2}{f^4}{R}^4+\frac{k_3}{f^6}{R}^6)+\frac{p_2}{f}(R^2+2v^2)+2\frac{p_1}{f}uv\end{array}\text{\hspace{1em}(F)}$$

对比(C)(F)两式，即得：

$$\begin{array}{rl}{K}_1& =\frac{k_1}{f^2}\\ K_2& =\frac{k_2}{f^4}\\ K_3& =\frac{k_3}{f^6}\\ P_1& =\frac{p_1}{f}\\ P_2& =\frac{p_2}{f}\end{array}$$

XRight-YUp 与 XRight-YDown的畸变系数的关系推导

摄影测量坐标系常用x轴向右y轴向上的像平面坐标系（XRight-YUp）；计算机视觉常用x轴向右y轴向下的像平面坐标系（XRight-YDown）。

设XRightY-Down的图像坐标系中一点坐标为$(x,y)$，畸变改正数为$(dx,dy)$；在相同原点的XRight-YUp中坐标为$(x,-y)$，畸变改正数为$(dx,-dy)$。它们计算畸变的公式形式相同，均符合(G)式：

$$\{\begin{array}{l}dx=x(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_1(r^2+2x^2)+2p_{2}xy\\ dy=y(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_2(r^2+2y^2)+2p_{1}xy\end{array}\text{\hspace{1em}(G)}$$

设在XRightY-Down的图像坐标系中畸变参数为$k_1,k_2,k_3,p_1,p_2$；在XRightY-Up的图像坐标系中畸变参数为$k_1^{\prime },k_2^{\prime },k_3^{\prime },p_1^{\prime },p_2^{\prime }$，则我们有：

$$\{\begin{array}{l}dx=x(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_1(r^2+2x^2)+2p_{2}xy=x(k_1^{\prime }{r}^2+k_2^{\prime }{r}^4+k_3^{\prime }{r}^6)+p_1^{\prime }(r^2+2x^2)+2p_2^{\prime }x(-y)\\ -dy=-(y(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_2(r^2+2y^2)+2p_{1}xy)=(-y)(k_1^{\prime }{r}^2+k_2^{\prime }{r}^4+k_3^{\prime }{r}^6)+p_2^{\prime }(r^2+2(-y{)}^2)+2p_1^{\prime }x(-y)\end{array}\text{\hspace{1em}(H)}$$

整理得：

$$\{\begin{array}{l}x(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)+p_1(r^2+2x^2)+2p_{2}xy=x(k_1^{\prime }{r}^2+k_2^{\prime }{r}^4+k_3^{\prime }{r}^6)+p_1^{\prime }(r^2+2x^2)-2p_2^{\prime }xy\\ -y(k_1{r}^2+k_2{r}^4+k_3{r}^6)-p_2(r^2+2y^2)-2p_{1}xy=-y(k_1^{\prime }{r}^2+k_2^{\prime }{r}^4+k_3^{\prime }{r}^6)+p_2^{\prime }(r^2+2y^2)-2p_1^{\prime }xy\end{array}\text{\hspace{1em}(I)}$$

于是可得：

$$\begin{array}{rl}{k}_1^{\prime }& =k_1\\ k_2^{\prime }& =k_2\\ k_3^{\prime }& =k_3\\ p_1^{\prime }& =p_1\\ p_2^{\prime }& =-p_2\end{array}$$

即，这两个坐标系中的畸变参数互转时仅需要将$p_2$取相反数，其他畸变系数可通用。