一【题目类别】

• 数学

二【题目难度】

• 简单

三【题目编号】

• 507.完美数

四【题目描述】

• 对于一个 正整数，如果它和除了它自身以外的所有 正因子 之和相等，我们称它为 「完美数」。
• 给定一个 整数 n， 如果是完美数，返回 true；否则返回 false。

五【题目示例】

• 示例 1：

  • 输入：num = 28
  • 输出：true
    • 解释：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。

• 示例 2：

  • 输入：num = 7
  • 输出：false

六【解题思路】

• 这题其实很简单，只需要正常枚举即可，从1遍历到$num$的前一位，遇到可以整除$num$的因子就加起来，最后判断是不是相等就可以，但是这样时间复杂度为$O(n)$，消耗的时间更是惨不忍睹，那怎样提高一下时间复杂度呢？
• 我们可以考虑从2遍历到$\sqrt{num}$，理由如下：
  • 每个数都有因子1，所以不用再计算1
  • 如果$num$有一个小于$\sqrt{num}$的因子$i$，一定有一个大于$\sqrt{num}$的因子$\frac{\sqrt{num}}{i}$
• 这样我们就可以将时间复杂度降至$O(\sqrt{num})$，但仍有一些细节需要注意：
  • 1不是完美数，需要特判
  • 当计算$i\ast i=num$这个相同因子的时候，只需要计算一次，不能重复计算
  • 将小于$\sqrt{num}$的因子$i$求和，同时也将大于$\sqrt{num}$的因子$\frac{\sqrt{num}}{i}$与其求和
• 最后返回结果即可

七【题目提示】

• $1<=num<=10^8$

八【时间频度】

• 时间复杂度：$O(\sqrt{n})$，其中$n$为传入参数的大小
• 空间复杂度：$O(1)$

九【代码实现】

1. Java语言版

class Solution {
    public boolean checkPerfectNumber(int num) {
        if(num == 1){
            return false;
        }
        int res = 1;
        for(int i = 2;i * i <= num;i++){
            if(num % i == 0){
                res += i;
                if(i * i < num){
                    res += num / i;
                }
            }
        }
        return res == num;
    }
}

2. C语言版

bool checkPerfectNumber(int num)
{
    if(num == 1)
    {
        return false;
    }
    int res = 1;
    for(int i = 2;i * i <= num;i++)
    {
        if(num % i == 0)
        {
            res += i;
            if(i * i < num)
            {
                res += num / i;
            }
        }
    }
    return res == num;
}

3. Python版

class Solution:
    def checkPerfectNumber(self, num: int) -> bool:
        if num == 1:
            return False
        res = 1
        i = 2
        while i * i <= num:
            if num % i == 0:
                res += i
                if i * i < num:
                    res += num / i
            i += 1
        return res == num

十【提交结果】

1. Java语言版
   

2. C语言版
   

3. Python语言版