目录

前言

堆

堆的常用操作

堆的实现（大根堆）

1.   堆的存储与表示

2.   访问堆顶元素

3.   元素入堆

4.   堆顶元素出堆

Top-k 问题

方法一：遍历选择

方法二：排序

方法三：堆

总结

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前言

秋招复习之堆。

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堆

「堆 heap」是一种满足特定条件的完全二叉树，主要可分为两种类型，如图所示。

• 「小顶堆 min heap」：任意节点的值 ≤ 其子节点的值。
• 「大顶堆 max heap」：任意节点的值 ≥ 其子节点的值。

堆作为完全二叉树的一个特例，具有以下特性。

• 最底层节点靠左填充，其他层的节点都被填满。
• 我们将二叉树的根节点称为“堆顶”，将底层最靠右的节点称为“堆底”。
• 对于大顶堆（小顶堆），堆顶元素（根节点）的值是最大（最小）的。

堆的常用操作

许多编程语言提供的是「优先队列 priority queue」，这是一种抽象的数据结构，定义为具有优先级排序的队列。

实际上，堆通常用于实现优先队列，大顶堆相当于元素按从大到小的顺序出队的优先队列。从使用角度来看，我们可以将“优先队列”和“堆”看作等价的数据结构。

在实际应用中，我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

类似于排序算法中的“从小到大排列”和“从大到小排列”，我们可以通过设置一个 flag 或修改 Comparator 实现“小顶堆”与“大顶堆”之间的转换。代码如下所示：

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> b - a);

/* 元素入堆 */
maxHeap.offer(1);
maxHeap.offer(3);
maxHeap.offer(2);
maxHeap.offer(5);
maxHeap.offer(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = maxHeap.poll(); // 5
peek = maxHeap.poll(); // 4
peek = maxHeap.poll(); // 3
peek = maxHeap.poll(); // 2
peek = maxHeap.poll(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));

/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap;
// 初始化大顶堆
priority_queue<int, vector<int>, less<int>> maxHeap;

/* 元素入堆 */
maxHeap.push(1);
maxHeap.push(3);
maxHeap.push(2);
maxHeap.push(5);
maxHeap.push(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.top(); // 5

/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
maxHeap.pop(); // 5
maxHeap.pop(); // 4
maxHeap.pop(); // 3
maxHeap.pop(); // 2
maxHeap.pop(); // 1

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
bool isEmpty = maxHeap.empty();

/* 输入列表并建堆 */
vector<int> input{1, 3, 2, 5, 4};
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> minHeap(input.begin(), input.end());

堆的实现（大根堆）

1.   堆的存储与表示

完全二叉树非常适合用数组来表示。由于堆正是一种完全二叉树，因此我们将采用数组来存储堆。

 将索引映射公式封装成函数

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

/* 获取左子节点的索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子节点的索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父节点的索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}

2.   访问堆顶元素

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}

/* 访问堆顶元素 */
int peek() {
    return maxHeap[0];
}

3.   元素入堆

给定元素 val ，我们首先将其添加到堆底。添加之后，由于 val 可能大于堆中其他元素，堆的成立条件可能已被破坏，因此需要修复从插入节点到根节点的路径上的各个节点，这个操作被称为「堆化 heapify」。

考虑从入堆节点开始，从底至顶执行堆化。如图所示，我们比较插入节点与其父节点的值，如果插入节点更大，则将它们交换。然后继续执行此操作，从底至顶修复堆中的各个节点，直至越过根节点或遇到无须交换的节点时结束。（就是一直和父比较，大就换）

设节点总数为 n ，则树的高度为 O(log⁡N) 。由此可知，堆化操作的循环轮数最多为  O(log⁡N) ，元素入堆操作的时间复杂度为  O(log⁡N) 。

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加节点
    maxHeap.push_back(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从节点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取节点 i 的父节点
        int p = parent(i);
        // 当“越过根节点”或“节点无须修复”时，结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p])
            break;
        // 交换两节点
        swap(maxHeap[i], maxHeap[p]);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}

4.   堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树的根节点，即列表首元素。如果我们直接从列表中删除首元素，那么二叉树中所有节点的索引都会发生变化，这将使得后续使用堆化进行修复变得困难。为了尽量减少元素索引的变动，我们采用以下操作步骤。

1. 交换堆顶元素与堆底元素（交换根节点与最右叶节点）。
2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，由于已经交换，因此实际上删除的是原来的堆顶元素）。
3. 从根节点开始，从顶至底执行堆化。

如图所示，“从顶至底堆化”的操作方向与“从底至顶堆化”相反，我们将根节点的值与其两个子节点的值进行比较，将最大的子节点与根节点交换。然后循环执行此操作，直到越过叶节点或遇到无须交换的节点时结束。

与元素入堆操作相似，堆顶元素出堆操作的时间复杂度也为 O(log⁡n) 。代码如下所示：

/* 元素出堆 */
int pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new IndexOutOfBoundsException();
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除节点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        // 交换两节点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

/* 元素出堆 */
void pop() {
    // 判空处理
    if (isEmpty()) {
        throw out_of_range("堆为空");
    }
    // 交换根节点与最右叶节点（交换首元素与尾元素）
    swap(maxHeap[0], maxHeap[size() - 1]);
    // 删除节点
    maxHeap.pop_back();
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
}

/* 从节点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断节点 i, l, r 中值最大的节点，记为 ma
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
            ma = r;
        // 若节点 i 最大或索引 l, r 越界，则无须继续堆化，跳出
        if (ma == i)
            break;
        swap(maxHeap[i], maxHeap[ma]);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}

Top-k 问题

Q：给定一个长度为 n的无序数组 nums ，请返回数组中最大的 k个元素。

方法一：遍历选择

其时间复杂度趋向于O(n2) ，非常耗时。

 当 k=n 时，可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。

方法二：排序

如图所示，我们可以先对数组 nums 进行排序，再返回最右边的 k 个元素，时间复杂度为 O(nlog⁡n) 。

显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需找出最大的k个元素即可，而不需要排序其他元素。

方法三：堆

可以基于堆更加高效地解决 Top-k 问题，流程如图所示。

1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
2. 先将数组的前 k 个元素依次入堆。
3. 从第 k+1 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大k 个元素。

天才！！！

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
Queue<Integer> topKHeap(int[] nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    Queue<Integer> heap = new PriorityQueue<Integer>();
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.offer(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.length; i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.peek()) {
            heap.poll();
            heap.offer(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

/* 基于堆查找数组中最大的 k 个元素 */
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> topKHeap(vector<int> &nums, int k) {
    // 初始化小顶堆
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    // 将数组的前 k 个元素入堆
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        heap.push(nums[i]);
    }
    // 从第 k+1 个元素开始，保持堆的长度为 k
    for (int i = k; i < nums.size(); i++) {
        // 若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆、当前元素入堆
        if (nums[i] > heap.top()) {
            heap.pop();
            heap.push(nums[i]);
        }
    }
    return heap;
}

总共执行了 n轮入堆和出堆，堆的最大长度为 k ，因此时间复杂度为 O(nlog⁡k) 。该方法的效率很高，当 k 较小时，时间复杂度趋向 O(n) ；当 n 较大时，时间复杂度不会超过 O(nlog⁡n) 。

另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大的 k个元素的动态更新。

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总结

• 堆是一棵完全二叉树，根据成立条件可分为大顶堆和小顶堆。大（小）顶堆的堆顶元素是最大（小）的。
• 优先队列的定义是具有出队优先级的队列，通常使用堆来实现。
• 堆的常用操作及其对应的时间复杂度包括：元素入堆 O(log⁡n)、堆顶元素出堆 O(log⁡n) 和访问堆顶元素 O(1) 等。
• 完全二叉树非常适合用数组表示，因此我们通常使用数组来存储堆。
• 堆化操作用于维护堆的性质，在入堆和出堆操作中都会用到。
• 输入 n 个元素并建堆的时间复杂度可以优化至 O(n) ，非常高效。
• Top-k 是一个经典算法问题，可以使用堆数据结构高效解决，时间复杂度为 O(nlog⁡K) 。