第六部分 集合论

news2024/11/6 7:20:57

目录

主要内容

集合的基本概念

集合的基本运算

集合恒等式

初级运算

 文氏图

集合的广义并与广义交

广义运算的性质

例1 A={{a},{a,b}}

集合算律 

例2 判断下列命题是否为真

例3 设

例4 判断以下命题的真假,并说明理由.

解题思路

主要内容
集合的基本概念
属于、包含
幂集、空集
文氏图等
集合的基本运算
并、交、补、差等
集合恒等式
集合运算的算律、恒等式的证明方法

 1. 集合定义

集合没有精确的数学定义
理解:由离散个体构成的整体称为 集合 ,称这些个体为集 合的 元素 常见的数集: N , Z , Q, R, C 等分别表示自然数、整数、有 理数、实数、复数集合
2. 集合表示法
枚举法 ---- 通过列出全体元素来表示集合
谓词表示法 ---- 通过谓词概括集合元素的性质
实例:
枚举法 自然数集合 N={0,1,2,3,…}
谓词法 S ={ x | x 是实数, x 2 1=0}

 集合与集合之间的关系:, =, , , ,

定义 6.1 A B ⇔ ∀ x ( x A x B )
定义 6.2 A = B A B B A
定义 6.3 A B A B A B
A B ⇔ ∃ x ( x A x B )
思考: 的定义
注意 :是不同层次的问题
定义 6.4 空集 :不含有任何元素的集合
实例: { x | x R x 2 +1=0 }
定理 6.1 空集是任何集合的子集。
证 对于任意集合 A
∅⊆ A ⇔ ∀ x ( x ∈∅→ x A ) T ( 恒真命题 )
推论 是惟一的
定义 6.6 全集 E :包含了所有集合的集合
全集具有相对性:与问题有关,不存在绝对的全集
定义 6.5 幂集 P ( A )={ x | x A }
实例: P ( )={ }, P ({ })={ ,{ }}
计数:如果 | A |= n ,则 | P ( A )|=2 n
初级运算
集合的基本运算有
定义 6.7 A B = { x | x A x B }
A B = { x | x A x B }
相对补 A B = { x | x A x B }
定义 6.8 对称差 A B = ( A B ) ( B A )
定义 6.9 绝对补 A = E A
简单来说
A-B 就是 属于A不属于B
E为定义上的全集
~A属于E不属于A
 文氏图

并和交运算可以推广到有穷个集合上
A 1 A 2 A n = { x | x A 1 x A 2 x A n }
A 1 A 2 A n = { x | x A 1 x A 2 x A n }
A B A B =
A B = ∅ ⇔ A B = A
集合的广义并与广义交
定义 6.10
广义并 A = { x | z ( z A x z )}
广义交 A = { x | z ( z A x z )}
实例
{{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1,2,3}
{{1}, {1,2}, {1,2,3}}={1}
{{ a }}={ a } {{ a }}={ a }
{ a }= a { a }= a
广义运算的性质
(1) ∪∅ = ∩∅ 无意义
(2) 单元集 { x } 的广义并和广义交都等于 x
(3) 广义运算减少集合的层次(括弧减少一层)
(4) 广义运算的计算:一般情况下可以转变成初级运算
{ A 1 , A 2 , … , A n }= A 1 A 2 A n
{ A 1 , A 2 , … , A n }= A 1 A 2 A n
引入广义运算的意义
可以表示无数个集合的并、交运算,例如
{{ x } | x R}=R
这里的 R 代表实数集合
简单来说
广义并就是所有集合并在一起
广义交就是所有集相交在一起
运算的优先权规定
1类运算:初级运算 , , ,
优先顺序由括号确定
2 类运算:广义运算和 运算,
运算由右向左进行
混合运算: 2 类运算优先于 1 类运算
1 A={{a},{a,b}}
计算 ∩∪ A ( ∪∪ A −∪∩ A ).
解:
∩∪ A ( ∪∪ A −∪∩ A )
= { a , b } ( { a , b } −∪ { a })
= ( a b ) (( a b ) a )
= ( a b ) ( b a ) = b
集合算律 
只涉及一个运算的算律
交换律 结合律 幂等律
交换
A B = B A
A B = B A
A B = B A
结合
( A B ) C = A ( B C )
( A B ) C = A ( B C )
( A B ) C = A ( B C )
幂等
A A = A
A A = A
涉及两个不同运算的算律
分配律、吸收律
分配
A ( B C )= ( A B ) ( A C )
A ( B C )= ( A B ) ( A C )
A ( B C ) =( A B ) ( A C )
吸收
A ( A B )= A
A ( A B )= A
涉及补运算的算律
DM 双重否定律
D . M
A ( B C )=( A B ) ( A C )
A ( B C )=( A B ) ( A C )
( B C )= B ∩∼ C
( B C )= B ∪∼ C
双重否定
∼∼ A = A
涉及全集和空集的算律
补元律 零律 同一律 否定律
E
补元律
A ∩∼ A =
A ∪∼ A = E
零律
A ∩∅ =
AE=E
同一律
A ∪∅ = A
AE=A
否定
∼∅ = E
E=
例2 判断下列命题是否为真
(1) ∅⊆∅
(2) ∅∈∅
(3) ∅⊆ { }
(4) ∅∈ { }
(5) { a , b } { a , b , c , { a , b , c }}
(6) { a , b } { a , b , c , { a , b }}
(7) { a , b } { a , b , {{ a , b }}}
(8) { a , b } { a , b , {{ a , b }}}
(1)真,空集是空集的子集,因为空集是任何集合的子集
(2)假,空集元素属于空集这个集合,空集没有任何元素
(3)真,空集是任何集合的子集
(4)真,集合中存在空集元素
(5)真,{ a , b }为{ a , b , c , { a , b , c }}的子集
(6)真, { a , b , c , { a , b}}中有{ a , b }这个元素
(7)真,{ a , b }为{ a , b , {{ a , b }}}的子集
(8)假, { a , b , {{ a , b}}}中没有{ a , b }这个元素,只有元素a,b,{{ a , b}}
例3 
S 1 ={1, 2, … , 8, 9} S 2 ={2, 4, 6, 8}
S 3 ={1, 3, 5, 7, 9} S 4 ={3, 4, 5}
S 5 ={3, 5}
确定在以下条件下 X 是否与 S 1 ,…, S 5 中某个集合相等?如
果是,又与哪个集合相等?
1 )若 X S 5 =
2 )若 X S 4 X S 2 =
3 )若 X S 1 X S 3
4 )若 X S 3 =
5 )若 X S 3 X S
(1) S 5 不交的子集不含有 3 5 ,因此 X = S 2
(2) S 4 的子集只能是 S 4 S 5 . 由于与 S 2 不交,不能含有偶数, 因此 X = S 5
(3) S 1 , S 2 , S 3 , S 4 S 5 都是 S 1 的子集,不包含在 S 3 的子集含有 偶数,因此 X = S 1 , S 2 S 4
(4) X S 3 = 意味着 X S 3 的子集,因此 X = S 3 S 5
(5) 由于 S 3 S 1 的子集,因此这样的 X 不存在
例4 判断以下命题的真假,并说明理由.
1 A B = A B =
2 A ( B C ) = ( A B ) ( A C )
3 A A = A
4 )如果 A B = B ,则 A = E .
5 A = { x } x ,则 x A x A .
解题思路
先将等式化简或恒等变形
查找集合运算的相关的算律,如果与算律相符,结果为真
注意以下两个重要的充要条件
A B = A A B =
A B = ∅ ⇔ A B A B = B A B = A
如果与条件相符,则命题为真 .
如果不符合算律,也不符合上述条件,可以用文氏图表示
集合,看看命题是否成立 . 如果成立,再给出证明 .
试着举出反例,证明命题为假
(1) B = A B = A 的充分条件,但不是必要条件 . B 不空但 是与 A 不交时也有 A B = A
(2) 这是 DM 律,命题为真
(3) 不符合算律,反例如下:
A ={1} A A = ,但是 A ≠∅
(4) 命题不为真 . A B = B 的充分必要条件是 B A ,不是 A = E
(5) 命题为真,因为 x 既是 A 的元素,也是 A 的子集

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