目录
- 1 概念
- 2 操作
- 2.1 查找
- 2.2 插入
- 2.3 删除
- 3 性能分析
- 4 和 java 类集的关系
1 概念
二叉搜索树 又称 二叉排序树，它是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:
- 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值；
- 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值。
- 它的左右子树也分别为二叉搜索树
你会发现它中序遍历的结果就是有序的。
如下图所示就是一颗二叉搜索树：
2 操作
2.1 查找
具体实现代码示例如下所示：
package bstree;
class BinarySearchTree{
static class BSNode{
public int val;
public BSNode left;
public BSNode right;
public BSNode(int val) {
this.val = val;
}}
public BSNode root = null;
public BSNode search(int val){
if(root == null) return null;
BSNode cur = root;
while (cur != null){
if(cur.val == val){
return cur;
}else if(cur.val > val){
cur = cur.left;
}else{
cur = cur.right;
}
}
return null;
}
}
public class TestDemo {
public static void main(String[] args) {
}
}
2.2 插入
- 如果树为空树，即根 == null，直接插入。
- 如果树不是空树，按照查找逻辑确定插入位置，插入新结点。
具体实现代码示例如下所示：
package bstree;
class BinarySearchTree{
static class BSNode{
public int val;
public BSNode left;
public BSNode right;
public BSNode(int val) {
this.val = val;
}}
public BSNode root = null;
public BSNode search(int val){
if(root == null) return null;
BSNode cur = root;
while (cur != null){
if(cur.val == val){
return cur;
}else if(cur.val > val){
cur = cur.left;
}else{
cur = cur.right;
}
}
return null;
}
public boolean insert(int val){
BSNode bsNode = new BSNode(val);
if(root == null){
root = bsNode;
return true;
}
BSNode cur = root;
BSNode parent = null;
while(cur != null){
if(cur.val == val){
return false;
}else if(cur.val > val){
parent = cur;
cur = cur.left;
}else{
parent = cur;
cur = cur.right;
}
}
if(parent.val < val){
parent.right = bsNode;
}else{
parent.left = bsNode;
}
return true;
}
}
public class TestDemo {
public static void preOrder(BinarySearchTree.BSNode root){
if(root == null){
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
public static void inOrder(BinarySearchTree.BSNode root){
if(root == null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
public static void main(String[] args) {
BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree();
binarySearchTree.insert(4);
binarySearchTree.insert(3);
binarySearchTree.insert(1);
binarySearchTree.insert(15);
binarySearchTree.insert(11);
preOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
inOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
try {
BinarySearchTree.BSNode ret = binarySearchTree.search(4);
System.out.println(ret.val);
}catch (NullPointerException e){
System.out.println("没有找到当前的节点..........");
e.printStackTrace();
}
}
}
2.3 删除
前提是删除这个节点之后，整棵树还是一棵二叉搜索树。
删除思路：
设待删除结点为 cur, 待删除结点的双亲结点为 parent。
则分为下面三种情况：
- cur.left == null
cur 是 root，则 root = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.right
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.right
- cur.right == null
cur 是 root，则 root = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.left，则 parent.left = cur.left
cur 不是 root，cur 是 parent.right，则 parent.right = cur.left
- cur.left != null && cur.right != null
- 如果像原来那样删除，那么一个节点就会出现两个父亲节点？
需要使用替换法进行删除，即在它的右子树中寻找中序下的第一个结点(关键值最小)，用它的值填补到被删除节点中，再来处理该结点的删除问题。- 我们怎么知道放谁上去？
当前需要删除的节点的左边找最大的，右边找最小的。
具体实现代码示例如下所示：
package bstree;
class BinarySearchTree {
static class BSNode {
public int val;
public BSNode left;
public BSNode right;
public BSNode(int val) {
this.val = val;
}
}
public BSNode root = null;
public BSNode search(int val) {
if (root == null) return null;
BSNode cur = root;
while (cur != null) {
if (cur.val == val) {
return cur;
} else if (cur.val > val) {
cur = cur.left;
} else {
cur = cur.right;
}
}
return null;
}
public boolean insert(int val) {
BSNode bsNode = new BSNode(val);
if (root == null) {
root = bsNode;
return true;
}
BSNode cur = root;
BSNode parent = null;
while (cur != null) {
if (cur.val == val) {
return false;
} else if (cur.val > val) {
parent = cur;
cur = cur.left;
} else {
parent = cur;
cur = cur.right;
}
}
if (parent.val < val) {
parent.right = bsNode;
} else {
parent.left = bsNode;
}
return true;
}
public void remove(int val) {
if (root == null) return;
BSNode cur = root;
BSNode parent = null;
while(cur !=null){
if (cur.val == val) {
removeNode(parent,cur,val);
} else if (cur.val < val) {
parent = cur;
cur = cur.right;
} else {
parent = cur;
cur = cur.left;
}
}}
public void removeNode(BSNode parent,BSNode cur,int val){
if(cur.left == null){
if(cur == root){
root = cur.right;
}else if(parent.left == cur){
parent.left = cur.right;
}else if(parent.right == cur){
parent.right = cur.right;
}
}else if(cur.right == null){
if(cur == root){
root = cur.left;
}else if(parent.left == cur){
parent.left = cur.left;
}else if(parent.right == cur){
parent.right = cur.left;
}
}else{
//这里采取的是右边找最小的方法
BSNode targetParent = cur;
BSNode target = cur.right;
while(target.left != null){
targetParent = target;
target = target.left;
}
//target指向的节点就是 右边的最小值
cur.val = target.val;
if(target == targetParent.left){
targetParent.left = target.right;
}else{
targetParent.right = target.right;
}
}
}
}
public class TestDemo {
public static void preOrder(BinarySearchTree.BSNode root){
if(root == null){
return;
}
System.out.print(root.val+" ");
preOrder(root.left);
preOrder(root.right);
}
public static void inOrder(BinarySearchTree.BSNode root){
if(root == null){
return;
}
inOrder(root.left);
System.out.print(root.val+" ");
inOrder(root.right);
}
public static void main(String[] args) {
BinarySearchTree binarySearchTree = new BinarySearchTree();
binarySearchTree.insert(4);
binarySearchTree.insert(3);
binarySearchTree.insert(1);
binarySearchTree.insert(15);
binarySearchTree.insert(11);
preOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
inOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
binarySearchTree.remove(15);
System.out.println("=============删除===============");
preOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
inOrder(binarySearchTree.root);
System.out.println();
try {
BinarySearchTree.BSNode ret = binarySearchTree.search(4);
System.out.println(ret.val);
}catch (NullPointerException e){
System.out.println("没有找到当前的节点..........");
e.printStackTrace();
}
}
}
3 性能分析
插入和删除操作都必须先查找，查找效率代表了二叉搜索树中各个操作的性能。
对有n个结点的二叉搜索树，若每个元素查找的概率相等，则二叉搜索树平均查找长度是结点在二叉搜索树的深度的函数，即结点越深，则比较次数越多。
但对于同一个关键码集合，如果各关键码插入的次序不同，可能得到不同结构的二叉搜索树：
最优情况下： 二叉搜索树为完全二叉树，其比较次数为：O(log2^n)
最差情况下: 二叉搜索树退化为单支树，其比较次数为：O(n)。
问题：如果退化成单支树，二叉搜索树的性能就失去了。那能否进行改进，不论按照什么次序插入关键码，都可以是二叉搜索树的性能最佳？
4 和 java 类集的关系
TreeMap 和 TreeSet 即 java 中利用搜索树实现的 Map 和 Set；实际上用的是红黑树，而红黑树是一棵近似平衡的二叉搜索树，即在二叉搜索树的基础之上 + 颜色以及红黑树性质验证，关于红黑树的内容在后边笔记中再进行描述。
