基础数学（五）——数值积分

news2024/9/23 9:24:00

文章目录

        • 考试要求
        • 基础概念
        • 代数精度（必考题）
          • 代数精度的定义
          • 求代数精度的例题（期末考试数值积分第一个大题）
        • 数值积分公式的构造
          • 插值型求积公式（必考题）
            • 插值型数值积分公式定理
            • Newton-Cotes求积公式
            • Cotes公式代数精度（必考）
        • Cotes公式例题（必考）
          • 梯形公式
          • Simpson公式
          • 例题（必考）
        • 改进的N-C公式
          • N-C公式缺点
          • 复化求积公式
            • 复化梯形公式
            • 复化Simpson公式
          • 复化公式计算样例（有可能会考）
          • 自适应步长求积法
            • Richardson加速外推
            • 例题计算（必考）
        • 高斯型的求积公式
          • Legendre多项式（勒让德多项式）（必考，仅仅考两阶）
          • 必考题（求[a,b]上的Gauss型求积公式，二阶）
        • 计算定积分，使用不同的方法进行计算
        • 积分公式的总结
          • 考试要求

考试要求

  • 给你不完整的数值积分公式，把他凑完整，找尽可能高的代数精度使其完整。
  • 要能够判定其对应代数精度。
  • 随便给的定积分，要用梯形公式或者辛普森公式计算，并计算对应有效数字
  • 能够根据对应要求，确定需要几个等分点。
  • 高斯型求积公式，仅仅考两个点的

基础概念

  • 使用被积函数在某些点的函数值的乘积的累加和，积分的近似值。
    在这里插入图片描述
  • 两个基本问题：
    • 构造：选取求积节点Xi、求积系数Ai
    • 分析：衡量精度
  • 根据积分中值定理，可以使用一个点的积分，去成功获取对应积分结果
    在这里插入图片描述
  • 衡量数值积分公式好坏的标准
    • 误差：
      • 计算实际积分和数值积分误差，通过误差来衡量。但是实际积分的结果计算不出来。
    • 公式精确成立的范围
      • 数值积分公式所适用的范围越大，越好。左矩形公式就只适用于常函数，中矩形公式使用常函数和一次函数等。
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代数精度（必考题）

代数精度的定义

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  • 证明方法：
    • 依次带入1，x，x²，x³等进行判定
求代数精度的例题（期末考试数值积分第一个大题）

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  • 求三个待定系数，需要找其满足的条件。在尽可能高的代数精度，顺次选择不同的精度进行假设，设定对应的方程。
    在这里插入图片描述
  • 方法
    • 从低次到高次，顺次假设对应的方程，然后计算出对应的方程组进行假设。
    • 若线性方程组无解，需要顺次减少最高次的方程，知道满足为止。
    • 若线性方程组解存在，且不为唯一，那就继续增加对应的限制条件。
    • 注意：一定要计算出不成立的次数为止。

数值积分公式的构造

插值型求积公式（必考题）

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插值型数值积分公式定理

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Newton-Cotes求积公式
  • 特点：Cotes 将求积系数分为和ab区间有关和无关两个部分。
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

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  • Cotes的特点
    • 最低阶的cotes公式是两个点的，所有cotes公式代数精度都是大于等于一次。
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Cotes公式代数精度（必考）

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  • 这里n是等分数，n个点，等分数就是n-1.六个等分点，就是五阶，代数精度就是五次。
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  • 五次函数，至少需要五次代数精度，所以最少需要四阶n-c公式

Cotes公式例题（必考）

梯形公式

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  • 推导
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  • 截断误差
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  • 代数精度
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Simpson公式

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  • 代数精度

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  • 截断误差

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例题（必考）
  • 考试要求：随便给一个定积分，用梯形公式或者simpson公式计算一次
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改进的N-C公式

N-C公式缺点
  • 高阶N-C公式不稳定，会放大误差
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复化求积公式
  • 本质：用分段线性插值近似被积函数
复化梯形公式

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  • 左右两端端点都用了一次，区间内的n-1点，用了两次。
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  • 用了n+1个点
复化Simpson公式

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  • 用了2n+1个点
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  • 只能用收敛阶来衡量收敛速度。
  • 复化辛普森公式需要导数四阶连续，复化梯形公式需要导师二阶连续
复化公式计算样例（有可能会考）

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自适应步长求积法
  • 通过后验误差的来判定先验误差，从而实现对误差的判定，决定是否还要在进行加密划分。
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Richardson加速外推
  • 复化梯形公式加速外推，变为复化Simpson公式，实现代数精度的进一步提高。
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  • 复化Simpson公式进一步外推，变为复化Cotes公式，进一步提高精度，减少误差
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  • Romberg公式
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例题计算（必考）
  • 能够根据误差要求，确定对应划分的阶数
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高斯型的求积公式

  • 在代数精度意义下，理论上最优的求积公式
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  • 高斯点的充分必要条件
    • 求积节点的充分必要条件是，以求积节点为零点的n+1次多项式，和任何一个不超过n次的多项式，相乘之后求定积分都为零。正交多项式的零点，就是最优的高斯多项式的结果。
  • 注意，这里是n+1个点，进行分类的
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Legendre多项式（勒让德多项式）（必考，仅仅考两阶）

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  • 具体推导
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必考题（求[a,b]上的Gauss型求积公式，二阶）
  • 线性替换，这里要会，将区间变为[-1,1]
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  • 注意：这里仅仅考两个点的高斯公式

计算定积分，使用不同的方法进行计算

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  • 不会单纯使用复化梯形公式，还要使用Romberg积分进行外推，尽量少的计算量的情况下，获取更高的精度

积分公式的总结

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考试要求
  • 不完整的积分公式，在保证尽可能高精度的情况下，将其补充完整。同时会验证你构造的数值公式
  • 随便给你一个定积分，要会使用特定的方法进行计算，romberg不考，仅仅考两个点的复化梯形公式。高斯公式仅仅考两个点的高斯公式，要回计算有效数字。两个点的高斯公式要会计算，算不出来就不算，只要把计算过程写出来就行了。
  • 对于刚才算的定积分，你用cotes公式，高斯公式，分别需要几个点。

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