基于判别函数的判别准则

• 对于$c$类分类问题：设 $g_i(\mathbf{x}),i=1,2,\dots ,c$, 表示每个类别对应的判别函数，决策规则为：如果 $g_i(\mathbf{x})>g_j(\mathbf{x}),\forall j\ne i$, 则 $\mathbf{x}$ 被分为第 ${\omega }_i$ 类，也就是说，样本被分到判别函数值最大的那一类
• 对于两类分类问题，可以只用一个判别函数，定义为：$g(\mathbf{x})=g_1(\mathbf{x})-g_2(\mathbf{x})$，判别准则为：$g(\mathbf{x})>0$, 分为第一类; 否则为第二类

【例子】假如每一类的分类器是后验概率$g_i(\mathbf{x})=p\left({\omega }_i\mid \mathbf{x}\right)$，那么两类分类器为
$$g(\mathbf{x})=p\left({\omega }_1\mid \mathbf{x}\right)-p\left({\omega }_2\mid \mathbf{x}\right)或g(\mathbf{x})=\log \frac{p\left(\mathbf{x}\mid {\omega }_1\right)}{p\left(\mathbf{x}\mid {\omega }_2\right)}+\log \frac{p\left({\omega }_1\right)}{p\left({\omega }_2\right)}$$

线性判别函数与决策面

• 线性判别函数的基本形式：
  $$g(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+w_0$$
  其中，$\mathbf{w}$是权重向量，$w_0$是偏移量
• 两类情形的决策规则
  $$\{\begin{array}{ll}\mathbf{x}\in {\omega }_1,& \text{ if }g(\mathbf{x})>0\\ \mathbf{x}\in {\omega }_2,& \text{ if }g(\mathbf{x})<0\\ \text{uncertain, }& \text{ if }g(\mathbf{x})=0\end{array}$$
  $g(\mathbf{x})=0$ 定义了一个决策面, 它是类 ${\omega }_1$ 和 ${\omega }_2$ 的分界面
  $g(\mathbf{x})=0$ 是一个超平面, 记为 $H$ 。位于该平面的任意向量与 $w$ 垂直:

【证明】如果 ${\mathbf{x}}_1$ 和 ${\mathbf{x}}_2$ 位于该超平面内, 于是有:
$$g\left({\mathbf{x}}_1\right)-g\left({\mathbf{x}}_2\right)={\mathbf{w}}^T\left({\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2\right)=0$$

• 对于任意样本 $\mathbf{x}$, 将其向决策面内投影, 并写成两个向量之和:
  $$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+r\frac{\mathbf{w}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }$$
  其中, ${\mathbf{x}}_p$ 为 $\mathbf{x}$ 在超平面 $H$ 上的投影, $r$为点 $\mathbf{x}$ 到超平面 $H$ 的代数距离。如果 $\mathbf{x}$ 在超平面正侧, 则 $r>0$; 反之 $r<0$
  由于$g\left({\mathbf{x}}_p\right)=0$，于是
  $$\begin{array}{rl}g(\mathbf{x})& ={\mathbf{w}}^T\left({\mathbf{x}}_p+r\frac{\mathbf{w}}{\Vert \mathbf{w}\Vert }\right)+w_0\\ & =r\Vert \mathbf{w}\Vert \\ \Rightarrow r& =\frac{g(\mathbf{x})}{\Vert \mathbf{w}\Vert }\end{array}$$
  并且有坐标原点到超平面的距离为：$w_0/\Vert \mathbf{w}\Vert$（用点到平面距离公式）
  
• 对于多分类问题，可以采用多个二类分类器集成得到多类分类器$g_i(\mathbf{x})={\mathbf{w}}_i^T\mathbf{x}+w_{i0},i=1,2,\dots ,k$
• One-vs-all: 逐一与所有的其它类进行配对, 可以构造 $c$ 个两类分类器。存在很多不确定区域，并且训练每个二类分类器要用到所有样本点
  - One-vs-one：两两 (类-类) 配对, 可以构造 $c(c-1)/2$ 个两类分类器。仍然存在不确定性区域，但相对较少；需要训练很多分类器，但训练起来只需要部分（两类）数据，而且更容易得到线性可分的结果（想象一下one vs all，在训练的时候，一类和剩下的所有类很可能是线性不可分的）
• 如果我们修改决策规则为
  $$\mathbf{x}\in {\omega }_i,g_i(\mathbf{x})=\underset{j=1,\mathrm{2..}c}{\max }{g}_j(\mathbf{x})$$
  将不再有不确定区域，最终的决策边界会发生改变
  
  

非线性判别函数

• 线性情形
  $$g(\mathbf{x})=w_0+\sum _{i=1}^d{w}_i{x}_i,\text{ 其中, }\mathbf{x}={\left[x_1,x_2,\dots ,x_d\right]}^T$$
• 可以进行二次推广，但是看成是线性函数（广义）
  $$\begin{array}{rl}g(\mathbf{x})& =w_0+\sum _{i=1}^d{w}_i{x}_i+\sum _{i=1}^d\sum _{j=1}^d{w}_{ij}{x}_i{x}_j=\sum _{i=1}^{\hat{d}}{a}_i{y}_i(\mathbf{x})\end{array}$$
  $$\begin{array}{rl}& y_1(\mathbf{x})=1\\ & y_2(\mathbf{x})=x_1\\ & y_3(\mathbf{x})=x_2\\ & \dots \\ & y_{d+1}(\mathbf{x})=x_d\\ & y_{d+2}(\mathbf{x})=x_1^2\\ & y_{d+3}(\mathbf{x})=x_1{x}_2\\ & \dots \\ & y_{\frac{(d+1)(d+2)}{2}}(\mathbf{x})=x_d^2\end{array}$$
  由于$w_{ij}=w_{ji}$，共有$1+d+d+(d^2-d)/2=(d+1)(d+2)/2$个系数待估计；$g(\mathbf{x})=0$ 为决策面, 它是一个二次超曲面
• 一般情况
  $$g(\mathbf{x})=\sum _{i=1}^{\hat{d}}{a}_i{y}_i(\mathbf{x})$$

1. $\mathbf{a}$ 为广义权重向量, $\mathbf{y}$ 是经由 $\mathbf{x}$ 所变成的新数据点。
2. 广义判别函数 $g(\mathbf{x})$ 对 $\mathbf{x}$ 而言是非线性的, 对 $\mathbf{y}$ 是线性的。
3. $g(\mathbf{x})$ 对 $\mathbf{y}$ 是齐次的, 意味着决策面通过新空间的坐标原点。且任意点 $\mathbf{y}$ 到决策面的代数距离为 ${\mathbf{a}}^T\mathbf{y}/\Vert \mathbf{a}\Vert$ （点到权重向量的投影长度）。
4. 当新空间的维数足够高时, $g(\mathbf{x})$ 可以逼近任意判别函数。
5. 但是, 新空间的维数远远高于原始空间的维数 $d$ 时, 会造成维数灾难问题（curse of dimensionality）。

【例子】设有一维样本空间 $\mathrm{X}$, 我们期望如果 $x<-1$ 或者 $x>0.5$, 则 $x$ 属于第一类 ${\omega }_1$; 如果 $-1<x<0.5$, 则属于第二类 ${\omega }_2$, 请设计一 个判别函数 $g(x)$ 。

$$\begin{array}{rl}g(x)& =(x-0.5)(x+1)=-0.5+0.5x+x^2=a_1+a_{2}x+a_3{x}^2\end{array}$$

• 对线性判别函数采用齐次增广表示
  $$\mathbf{y}=\left(\begin{array}{l}1\\ \mathbf{x}\end{array}\right)={\left[\begin{array}{llll}1& x_1& \cdots & x_d\end{array}\right]}^T,\mathbf{a}=\left(\begin{array}{l}{w}_0\\ \mathbf{w}\end{array}\right)={\left[\begin{array}{llll}{w}_0& w_1& \cdots & w_d\end{array}\right]}^T$$
  $$g(\mathbf{x})={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+w_0={\mathbf{a}}^T\mathbf{y}$$
• Y空间中任意一点 $\mathbf{y}$ 到 $H$ 的距离为: $r=\frac{g(\mathbf{x})}{\Vert \mathbf{a}\Vert }=\frac{{\mathbf{a}}^T\mathbf{y}}{\Vert \mathbf{a}\Vert }$
• 线性齐次空间增加了一个维度, 仍可保持欧氏距离不变, 分类效果与原来的决策面相同。但分类面将过坐标原点, 对于某些分析, 将具有优势。