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【平衡二叉搜索树】【设计类】【2023-12-16】

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题目来源

2276. 统计区间中的整数数目

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解题思路

方法一：平衡二叉搜索树

思路

用一棵平衡二叉搜索树维护插入的区间，树中的区间两两不想交。

当插入一个新区间时，需要找到所有与该区间有重合整数的区间，将这些区间合并后并将合并后的区间插入到平衡树中。

区间包含左端点 l 和右端点 r 两个属性，在树中参与排序的是左端点。提前说明一下，后文提到的大区间指的是左端点大。

当插入一个新的区间 [left, right]，需要先找到树中和该区间可能有重复整数的最大区间 interval，即树中满足 interval.l <= right 的区间，如果区间 [left, right] 和区间 interval 相交，则将它们合并。然后，继续寻找这样的区间，直到不存咋这样的区间或者找到的区间和待插入的区间不想交。同时用一个整数 cnt 维护树中区间覆盖的整数个数，当调用 count 时，直接返回 cnt。

算法

class CountIntervals {
private:
    map<int, int> mp;
    int cnt = 0;
public:
    CountIntervals() {}
    
    void add(int left, int right) {
        auto interval = mp.upper_bound(right); // 找出 mp 中 > right 的第一个 left
        if (interval != mp.begin()) {
            interval --;
        }

        while (interval != mp.end() && interval->first <= right && interval->second >= left) {
            int l = interval->first, r = interval->second;
            left = min(left, l);
            right = max(right, r);
            cnt -= r - l + 1;
            mp.erase(interval);
            interval = mp.upper_bound(right);
            if (interval != mp.begin()) {
                interval --;
            }
        }
        cnt += right - left + 1;
        mp[left] = right;
    }
    
    int count() {
        return cnt;
    }
};

/**
 * Your CountIntervals object will be instantiated and called as such:
 * CountIntervals* obj = new CountIntervals();
 * obj->add(left,right);
 * int param_2 = obj->count();
 */

复杂度分析

时间复杂度：add 操作的均摊时间复杂度为 $O(logn)$，其中 $n$ 是调用 add 的次数，因为每个区间最多只会被加入和删除一次，单词加入和删除的时间复杂度为 $O(logn)$。单次 add 的复杂度最差为 $O(n\times logn)$。

空间复杂度：$O(n)$。

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写在最后

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