浅谈树状数组

news2024/9/28 17:25:31

学习树状数组必不可少学习树状数组的精髓，lowbit()运算

在计算机中存储一个正数是以二进制的形式，而存储一个负数则是以二进制补码的形式，简单说就是二进制取反+1，lowbit运算就是提取出最后一个1以后的位置，比如10100进行lowbit运算就是100，11010进行lowbit运算就是10，在写的时候lowbit就是x&(-x)，可以随便造几个数来看一下效果，假设x的二进制是10100，x的反码就是01011，加1以后就是01100，x&(-x)=100，这显然不是巧合。

而树状数组就是通过lowbit运算来存储前缀和，当然lowbit运算中不能有0的存在

如图

在树状数组中，c[i]记录的是从i-lowbit(i)+1到i的和，因此单点修改，区间查询就是更改单点开始的所有lowbit即可，查询区间也是查询所有的lowbit，一维二维同理，二维就是循环两层

如果是区间修改，区间查询，可以借助一个新的差分数组d，可知d[1]=a[1],d[2]=a[2]-a[1],d[3]=a[3]-a[2]，这里要求的是a数组的前缀和，那么a[1]=d[1],a[2]=d[1]+d[2],a[3]=d[1]+d[2]+d[3]...a数组前缀和就是a[1]=d[1],a[1]+a[2]=2*d[1]+d[2],a[1]+a[2]+a[3]=3*d[1]+2*d[2]+d[3]...通过归纳可以发现a[1~x]的和就等于

$\sum_{i=1}^{x}(x+1-i)d_{i}$

也就是

$(x+1)\sum_{i=1}^{x}d_{i}-\sum_{i=1}^{x}id_{i}$

从这就能看出，树状数组此时需要维护两个区间，一个是差分数组d，一个是i*d

一些树状数组模板+模板题：

一维二维树状数组模板题加题解

一维二维树状数组模板（进阶版）

难点-树状数组

树状数组求逆序数