一、多段图问题
问题描述：设图G=(V, E)是一个带权有向图，如果把顶点集合V划分成k个互不相交的子集Vi (2≤k≤n, 1≤i≤k)，使得对于E中的任何一条边(u, v)，必有u∈Vi，v∈Vi+m (1≤i≤k, 1＜i+m≤k)，则称图G为多段图，称s∈V1为源点，t∈Vk为终点。多段图的最短路径问题求从源点到终点的最小代价路径。
二、抽象分析
设Cu-v表示多段图的有向边<u, v>上的权值，将从源点s到终点t的最短路径长度记为d(s, t)，考虑原问题的部分解d(s, v)，显然有下式成立：
d(s, v) =Cs-v （<s, v>∈E）
d(s, v) = min{d(s, u) + Cu-v} （<u, v>∈E）
1.循环变量j从1~n-1重复下述操作，执行填表工作
1.1考察顶点j的所有入边，对于边<i,j>∈E,执行下述操作
1.1.1cost[j]=min{cost[i]+c[i][j]}；
1.1.2path[j]=使cost[i]+c[i][j]最小的i;
1.2 j++;
2.输出最短路径长度cost[n-1]；
3.循环变量i=path[n-1].循环直到path[i]=0,输出最短路径经过的顶点；
3.1 输出path[i];
3.2 i=path[i]
三、例题具体分析
首先求解初始子问题，可直接获得：
d(0, 1)=c01＝4(0→1)
d(0, 2)=c02＝2(0→2)
d(0, 3)=c03＝3(0→3)
再求解下一个阶段的子问题，有：
d(0, 4)=min{d(0, 1)+c14, d(0, 2)+c24}=min{4+9, 2+6}=8(2→4)
d(0, 5)=min{d(0, 1)+c15, d(0, 2)+c25, d(0, 3)+c35}=min{4+8, 2+7, 3+4}
=7(3→5)
d(0, 6)=min{d(0, 2)+c26, d(0, 3)+c36}=min{2+8, 3+7}=10(2→6)
再求解下一个阶段的子问题，有：
d(0, 7)=min{d(0, 4)+c47, d(0, 5)+c57, d(0, 6)+c67}=min{8+5, 7+8, 10+6}
=13(4→7)
d(0, 8)=min{d(0, 4)+c48, d(0, 5)+c58, d(0, 6)+c68}=min{8+6, 7+6, 10+5}
=13(5→8)
直到最后一个阶段，有：
d(0, 9)=min{d(0, 7)+c79, d(0, 8)+c89}=min{13+7, 13+3}=16(8→9)
再将状态进行回溯，得到最短路径0→3→5→8→9，最短路径长度16。
（附输入）
10 18
0 1 4
0 2 2
0 3 3
1 4 9
1 5 8
2 4 6
2 5 7
2 6 8
3 5 4
3 6 7
4 7 5
4 8 6
5 7 8
5 8 6
6 7 6
6 8 5
7 9 5
8 9 3四、代码
#include<iostream>
using namespace std;
int vnum, arcnum;
int arc[100][100];
const int INT_MAX1 = 999;
void printArc()
{
cout << "邻接矩阵为：" << endl;
for (int i = 0; i < vnum; i++)
{
for (int j = 0; j < vnum; j++)
{
cout << arc[i][j] <<" ";
}
cout << endl;
}
cout << endl;
}
int main()
{
cin >> vnum >> arcnum;
int i, j;
//初始化邻接矩阵，用999表示没有边
for (i = 0; i < vnum; i++)
{
for (j = 0; j < vnum; j++)
{
arc[i][j] = INT_MAX1;
}
}
printArc();
//输入各边
while (arcnum--)
{
int weight;
cin >> i >> j >> weight;
arc[i][j] = weight;
}
printArc();
int cost[100] = { 0 };//记录最小的代价
int path[100] = { 0 };//记录路径，即经过的顶点
//初始化
for (i = 1; i < vnum; i++)
{
cost[i] = INT_MAX;
path[i] = -1;
}
cost[0] = 0;
path[0] = -1;
//开始动态规划，找出最小代价
for (j = 1; j < vnum; j++)
{
for (i = j - 1; i >= 0; i--)
{
if (cost[i] + arc[i][j] < cost[j])
{
cost[j] = cost[i] + arc[i][j];
path[j] = i;
}
}
}
// 输出路径
i = vnum - 1;
cout << i;
while (path[i] >= 0) { // 前一个点大于0
cout << "<-" << path[i];
i = path[i]; // 更新为前一个点
}
cout << endl;
cout << "最短路径为：" << cost[vnum -1] << endl;
system("pause");
return 0;
}
