c++算法基础必刷题目—

文章目录

- 按位贪心
- 1、毒瘤xor
- 2、兔子的区间密码
- 3、起床困难综合症

按位贪心

1、毒瘤xor

NC18979 毒瘤xor

题目描述

小a有N个数a1, a2, …, aN，给出q个询问，每次询问给出区间[L, R]，现在请你找到一个数X，使得
1、0⩽X<2³¹
2、 $\sum_{i=L}^R$ X⊕a[i]最大，⊕表示异或操作(不懂的请自行百度)

输入描述:

第一行一个整数N，表示序列的长度
第二行N个整数，表示序列内的元素
第三行一个整数q，表示询问的个数
接下来q行，每行两个整数[L, R]，表示询问的区间

输出描述:

输出q行，每行一个整数表示答案
若有多组可行解，请输出较小的解

示例1

输入
5
4 78 12 1 3
3
2 5
1 4
3 3

输出
2147483632
2147483635
2147483635

备注:

对于30%的数据，n , q ≤ 10
对于60%的数据，n , q ≤ 1000
对于100%的数据，n, q ≤ 105
保证ai < 2³¹

解题思路：
1、按二进制位来分析问题，统计区间中每一位1的数量，那么0的数量可以间接求出来，如果0的数量比1的数量多，那么该位就应该是1，否则就应该是0，下面来解释样例

2、2到5有4个数78、12、1、3，二进制分别如下
78 ：0100 1110
12 ：0000 1100
1 ：0000 0001
3 ：0000 0011

前面24位全0省略了，那么一共有4个数，那么当0的个数大于等于3时该位是1，那么X应该是111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 0000，即2147483632

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int a[100010]={0};
    int b[100010][32]={0};
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        for(int j=0;j<31;j++){//统计每一位的1的个数，进行前缀和
            b[i][j]+=b[i-1][j]+((a[i]>>j)&1);
        }
    }
    int m;
    cin>>m;
    for(int i=0;i<m;i++){
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        int ans=0;
        for(int j=0;j<31;j++){
            //使用差分快速查询每一位区间的和，如果1的数量小于0的数量，那么该位就为0
            if((b[r][j]-b[l-1][j])*2<(r-l+1)){
                ans+=(1<<j);
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}

2、兔子的区间密码

NC20860 兔子的区间密码

题目描述

有一只可爱的兔子被困在了密室了，密室里有两个数字，还有一行字：
只有解开密码，才能够出去。
可爱的兔子摸索了好久，发现密室里的两个数字是表示的是一个区间[L,R]
而密码是这个区间中任意选择两个(可以相同的)整数后异或的最大值。
比如给了区间[2,5] 那么就有2 3 4 5这些数，其中 2 xor 5=7最大所以密码就是7。
兔子立马解开了密室的门，发现门外还是一个门，而且数字越来越大，兔子没有办法了，所以来求助你。
提示：异或指在二进制下一位位比较，相同则 0 不同则 1
例如2=(010)₂,5=(101)₂
所以2 xor 5=(111)₂=7

输入描述:

第一行一个数 T，表示数据组数。
接下来 T 行，每行两个数 L，R, 表示区间[L,R]。

输出描述:

输出共T行每行一个整数，表示[L,R]的密码。

示例1

输入
5
1 10
2 3
3 4
5 5
2 5

输出
15
1
7
0
7

备注:

对于30%的数据
1 ≤ T ≤ 10
0 ≤ L ≤ R ≤ 100
对于另外10%的数据
L=R
对于70%的数据
1 ≤ T ≤ 10
0 ≤ L ≤ R ≤ 50000
对于100%的数据
1 ≤ T ≤ 10000
0 ≤ L ≤ R ≤ 10¹⁸
(对于100%的数据) 输入数据较大，请使用快速读入。

解题思路：
下面来解释样例
1、1和10，1的二进制是0000 0001，10的二进制是0000 1010，找到第一位不同的，那就是第5位，那么选择的第一个数就是0000 1000，第二个数是0000 0111，答案是0000 1111，即15

2、2和3，2的二进制是0000 0010，3的二进制是0000 0011，找到第一位不同的，那就是第8位，那么选择的第一个数就是0000 0011，第二个数是0000 0010，答案是0000 0001，即1

3、3和4，3的二进制是0000 0011，4的二进制是0000 0100，找到第一位不同的，那就是第6位，那么选择的第一个数就是0000 0100，第二个数是0000 0011，答案是0000 0111，即7

4、相信您看出来规律了吧！答案一定是2的幂次方-1。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        long long l,r;
        long long ans=0;
        cin>>l>>r;
        for(int i=62;i>=0;i--){
            if(((l>>i)&1)!=((r>>i)&1)){//出现了不同的位
                ans=((1ll<<(i+1))-1);//该位后全1
                break;
            }
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}

3、起床困难综合症

NC17857 起床困难综合症

题目描述

21 世纪，许多人得了一种奇怪的病：起床困难综合症，其临床表现为：起床难，起床后精神不佳。作为一名青春阳光好少年，atm 一直坚持与起床困难综合症作斗争。通过研究相关文献，他找到了该病的发病原因：在深邃的太平洋海底中，出现了一条名为 drd 的巨龙，它掌握着睡眠之精髓，能随意延长大家的睡眠时间。正是由于 drd 的活动，起床困难综合症愈演愈烈，以惊人的速度在世界上传播。为了彻底消灭这种病，atm 决定前往海底，消灭这条恶龙。
历经千辛万苦，atm 终于来到了 drd 所在的地方，准备与其展开艰苦卓绝的战斗。drd 有着十分特殊的技能，他的防御战线能够使用一定的运算来改变他受到的伤害。具体说来，drd 的防御战线由 𝑛 扇防御门组成。每扇防御门包括一个运算 op 和一个参数 𝑡，其中运算一定是 OR,XOR,AND 中的一种，参数则一定为非负整数。如果还未通过防御门时攻击力为 𝑥 ，则其通过这扇防御门后攻击力将变为 𝑥 op 𝑡 。最终drd 受到的伤害为对方初始攻击力 𝑥 依次经过所有 𝒏 扇防御门后转变得到的攻击力。
由于atm 水平有限，他的初始攻击力只能为 0 到 𝑚 之间的一个整数（即他的初始攻击力只能在 0, 1, … , 𝑚 中任选，但在通过防御门之后的攻击力不受 𝑚 的限制）。为了节省体力，他希望通过选择合适的初始攻击力使得他的攻击能让 drd受到最大的伤害，请你帮他计算一下，他的一次攻击最多能使 drd 受到多少伤害。

输入描述:

第 1 行包含2 个整数，依次为 𝑛, 𝑚 ，表示drd 有 𝑛 扇防御门，atm 的初始攻击力为 0 到 𝑚 之间的整数。
接下来 𝑛 行，依次表示每一扇防御门。每行包括一个字符串 op 和一个非负整数 𝑡，两者由一个空格隔开，且 op 在前， 𝑡 在后，op 表示该防御门所对应的操作，𝑡 表示对应的参数。

输出描述:

输出一行一个整数，表示atm 的一次攻击最多使 drd 受到多少伤害。

示例1

输入
3 10
AND 5
OR 6
XOR 7

输出
1

说明

atm 可以选择的初始攻击力为 0,1, … ,10。
假设初始攻击力为 4，最终攻击力经过了如下计算
4 AND 5 = 4
4 OR 6 = 6
6 XOR 7 = 1
类似的，我们可以计算出初始攻击力为 1,3,5,7,9 时最终攻击力为 0，初始攻击力为 0,2,4,6,8,10 时最终攻击力为 1，因此atm 的一次攻击最多使 drd 受到的伤害值为 1。

备注:

解题思路：

1、按位贪心，越高位比重越高，我们应该从最高位开始，向最低位逐步分析问题

2、因为按位与、按位或、按位异或都是不会产生进位的，所以我们可以按位独立去考虑问题，某位不是1就是0，那么我们可以让那一位是1和0，查看结果再做判断，例如某一位是1时，经过一系列操作变成了0，是0时，经过一系列操作变成了1，那么就让该位是0是最合适的

3、从高位到低位贪心，如果该位能变1，那么在符合要求的情况下一定要令其为1

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int t=0;
    int ans=0;
    int ma=(1ll<<31)-1;//全1
    int mi=0;//全0
    for(int i=0;i<n;i++){
        string s;
        int val;
        cin>>s>>val;
        if(s=="AND"){
            ma&=val;
            mi&=val;
        }else if(s=="OR"){
            ma|=val;
            mi|=val;
        }else{
            ma^=val;
            mi^=val;
        }
    }
    for(int i=30;i>=0;i--){
        if((mi>>i)&1){//如果该位是0，最后变1了，那么就让这位是0
            ans+=(1<<i);
            continue;
        }else if(((ma>>i)&1)&&t+(1<<i)<=m){//如果该位是1，最后还是1，那么在符合条件的情况下让该位是1
            t+=(1<<i);
            ans+=(1<<i);
        }
    }
    cout<<ans<<endl;
}