算法选择
稠密图：朴素版普利姆算法【因为代码短】
稀疏图：克鲁斯卡尔算法【因为思路简单】
普利姆（Prim）
朴素 Prim
时间复杂度 O(n^2)
适用情况
稠密图
算法流程
集合：当前已经在连通块中的所有点
- 初始化距离，将所有距离初始化为正无穷
- n 次迭代，因为要加入 n 个点
for(int i = 0; i < n; i ++)
找到集合外距离最近的点，赋给 t
用 t 更新其它点到集合的距离
把 t 加到集合中st[t] = true;
模板
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有距离
int res = 0;//最小生成树中所有边之和
for (int i = 0;i < n;i++) {//n次迭代
int t = -1;
for (int j = 1;j <= n;j++) {//找集合外距离最小的点
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//t==-1说明现在还没有找到任何一个点
t = j;//t存当前距离最小的点
}
if (i && dist[t] == INF)//如果不是第一个点并且dist[t]是正无穷，说明当前图是不连通的，说明不存在最小生成树
return INF;
if (i)//先累加，再更新，防止自环的加入
res += dist[t];
for (int j = 1;j <= n;j++)
dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//dist表示该点到集合的距离
st[t] = true;
}
return res;
}例题——Prim求最小生成树
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
1≤n≤500,
1≤m≤10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过10000。
输入样例
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例
6
代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, INF = 0x3f3f3f3f;
int n, m;
int g[N][N];
int dist[N];
bool st[N];
int prim() {
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);//初始化所有距离
int res = 0;//最小生成树中所有边之和
for (int i = 0;i < n;i++) {//n次迭代
int t = -1;
for (int j = 1;j <= n;j++) {//找集合外距离最小的点
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))//t==-1说明现在还没有找到任何一个点
t = j;//t存当前距离最小的点
}
if (i && dist[t] == INF)//如果不是第一个点并且dist[t]是正无穷，说明当前图是不连通的，说明不存在最小生成树
return INF;
if (i)//先累加，再更新，防止自环的加入
res += dist[t];
for (int j = 1;j <= n;j++)
dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);//dist表示该点到集合的距离
st[t] = true;
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
memset(g, 0x3f, sizeof g);
while (m--) {
int a, b, c;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
}
int t = prim();
if (t == INF)
puts("impossible");//所有点不连通时不存在最小生成树
else
printf("%d\n", t);
return 0;
}堆优化 Prim
时间复杂度 O(mlogn)
适用情况
稀疏图
克鲁斯卡尔（Kruskal）
时间复杂度 O(mlogm)
适用情况
稀疏图
算法流程
- 将所有边按照权重从小到达排序，可以用快排排序 O(mlogm)
- 从小到大依次枚举每条边a，b，权重c O(m)
如果a，b不连通，那么将这条边加入集合中
模板
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
int p[N];
struct Edge {
int a, b, w;
bool operator<(const Edge& W)const {
return w < W.w;
}
}edges[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0;i < m;i++) {
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = { a,b,w };
}
//克鲁斯卡尔算法
sort(edges, edges + m);//将所有边按权重排序
for (int i = 1;i <= n;i++)//初始化并查集
p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0;i < m;i++) {//从小到大枚举所有边
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) {//两个祖宗节点不连通
p[a] = b;//合并两个集合
res += w;//res存最小生成树中所有树边权重之和
cnt++;//cnt存当前加了多少条边
}
}
if (cnt < n - 1)//不连通
puts("impossible");
else
printf("%d\n", res);
return 0;
}例题——Kruskal求最小生成树
题目描述
给定一个n个点m条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
给定一张边带权的无向图G=(V, E)，其中V表示图中点的集合，E表示图中边的集合，n=|V|，m=|E|。
由V中的全部n个顶点和E中n-1条边构成的无向连通子图被称为G的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图G的最小生成树。
输入格式
第一行包含两个整数n和m。
接下来m行，每行包含三个整数u，v，w，表示点u和点v之间存在一条权值为w的边。
输出格式
共一行，若存在最小生成树，则输出一个整数，表示最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出impossible。
数据范围
1≤n≤10^5,
1≤m≤2∗10^5,
图中涉及边的边权的绝对值均不超过1000。
输入样例
4 5
1 2 1
1 3 2
1 4 3
2 3 2
3 4 4
输出样例
6
代码
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 200010;
int n, m;
int p[N];
struct Edge {
int a, b, w;
bool operator<(const Edge& W)const {
return w < W.w;
}
}edges[N];
int find(int x) {
if (p[x] != x)
p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 0;i < m;i++) {
int a, b, w;
scanf("%d%d%d", &a, &b, &w);
edges[i] = { a,b,w };
}
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1;i <= n;i++)
p[i] = i;
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0;i < m;i++) {
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) {
p[a] = b;
res += w;//res存最小生成树中所有树边权重之和
cnt++;//cnt存当前加了多少条边
}
}
if (cnt < n - 1)
puts("impossible");
else
printf("%d\n", res);
return 0;
}
