11091 最优自然数分解问题（优先做）

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题型: 编程题语言: G++;GCC;VC;JAVA
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Description

问题描述：设n是一个正整数。
（1）现在将n分解为若干个互不相同的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大。
（2）现在将n分解为若干个自然数之和，且使这些自然数的乘积最大。
编程任务：对于给定的正整数n，编程计算问题（1）和（2）的最优分解的最大乘积。

注意：

这里的自然数不含0但允许为1。
特别地，当整数n无法分解为若干互不相同的加数时，即自身视为单独的一个加数，
比如输入2，问题（1）的解输出为2。而如果整数n可以分解为若干互不相同的加数时，
不考虑自身为单独加数的情况，比如4，问题（1）的解输出为3，而非4。
若干互不相同自然数或若干自然数，这个若干可>=1，也就是可以为1。

输入格式

只有一个正整数n(1<=n<=100)。

输出格式

输出待解问题（1）和（2）的最大乘积，中间空格相连，这两个数可能较大请皆用64位整数。

如，输入n为10，若加数互不相同，则n=2+3+5，此时最大乘积为235=30。
若加数可相同，则n=2+2+3+3，此时最大乘积为223*3=36。

输入样例

输出样例

30 36

解题思路

贪心算法

（1）分解为互不相同自然数之和

注意到：若a+b等于一个常数，则|a-b|越小，ab就越大。
要使得加数互不相同，又尽可能集中，那加数只能是连续的自然数了。

贪心策略：当n等于1至4时单独处理。n大于4时，将n分成从2开始的连续的自然数的和。如果最后剩下一个数，将此剩余数在后项优先的方式下均匀地分给前面各项。

（2）分解为若干自然数之和

注意到：若a+b等于一个常数，则|a-b|越小，ab就越大。
若 n = m1+m2+…+mk，则 -1 <= (mi-mj) <= 1，（1<=i<=k， 1<=j<=k），
即任意加数的差距不超过正负1。
由于拆分的加数可以相同，任何一个数拆后乘积总比不拆强，因此拆到极尽，
极尽的加数为3或2，且拆为3比拆为2好，因此优先拆为3。

贪心策略：
极尽拆解，尽可能先将n拆成3,3,3,…,3；若拆成若干3后还有剩余，则为2，或2和2。

归纳公式如下：

max{m1m2…*mk} = 3 ^ (n/3) if n(mod 3)等于0
max{m1m2…*mk} = 4 * 3 ^ [(n-4)/3] if n(mod 3)等于1
max{m1m2…*mk} = 2 * 3 ^ [(n-2)/3] if n(mod 3)等于2

算法思路

分解为互不相同自然数之和

列出 n 为 1~4 的特殊处理
将 n 拆成从2开始的连续自然数的和，拆不了就退出循环。比如 10 拆成 2,3,4，由于无法继续拆成5，所以退出循环，此时剩余数为1。
将剩余数从后往前分配
将数组中的数依次相乘

ll one(int n) {
    if(n == 1)
        return 1;
    else if(n == 2)
        return 2;
    else if(n == 3)
        return 2;
    else if(n == 4)
        return 3;

    vector<int> a;
    int i = 2, sum = 0;
    // 将 n 拆成从2开始的连续自然数的和
    // 比如 10 拆成 2,3,4，由于无法继续拆成5，所以退出循环，此时剩余数为1
    while(sum + i <= n) {
        sum += i;
        a.push_back(i);
        i++;
    }

    i = a.size() - 1; // 分配的话，从最后一个自然数开始分配
    int leave = n - sum; // leave 为最后剩下的数，准备分配给前面的连续自然数

    while(leave) {
        a[i]++;
        i--; // 索引减1，准备分配给前一个自然数
        leave--;
    }

    ll res = 1;
    for(i = 0; i < a.size(); i++) {
        res *= a[i];
    }

    return res;
}

分解为相同自然数之和

递归，类似于剪绳子的解题思路：剑指 Offer 14- I. 剪绳子动态规划 /贪心算法（以及贪心算法的一些奇特优化思路）

长度为4时，剪为两个2是最好
长度为3时，不剪时是最好
长度为2时，不剪时是最好
其他更长长度的情况，将每次划分出3，然后继续递归即可

ll two(int n) {
    if(n == 4)
        return 2 * 2;
    else if(n == 3)
        return 3;
    else if(n == 2)
        return 2;
    else
        return 3 * two(n - 3);
}

更多注释可查看下方的完整代码中，有助于理解。

代码如下

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll one(int n) {
    if(n == 1)
        return 1;
    else if(n == 2)
        return 2;
    else if(n == 3)
        return 2;
    else if(n == 4)
        return 3;

    vector<int> a;
    int i = 2, sum = 0;
    // 将 n 拆成从2开始的连续自然数的和
    // 比如 10 拆成 2,3,4，由于无法继续拆成5，所以退出循环，此时剩余数为1
    while(sum + i <= n) {
        sum += i;
        a.push_back(i);
        i++;
    }

    i = a.size() - 1; // 分配的话，从最后一个自然数开始分配
    int leave = n - sum; // leave 为最后剩下的数，准备分配给前面的连续自然数

    while(leave) {
        a[i]++;
        i--; // 索引减1，准备分配给前一个自然数
        leave--;
    }

    ll res = 1;
    for(i = 0; i < a.size(); i++) {
        res *= a[i];
    }

    return res;
}

ll two(int n) {
    if(n == 4)
        return 2 * 2;
    else if(n == 3)
        return 3;
    else if(n == 2)
        return 2;
    else
        return 3 * two(n - 3);
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    cout << one(n) << " " << two(n);

    return 0;
}