一.引例
计算机网络传输的问题：
怎样找到一种最经济的方式，从一台计算机向网上所有其他计算机发送一条消息。
抽象为：
给定带权有向图G=（V，E）和源点v，求从v到G中其余各顶点的最短路径。
即：
单源点最短路径问题
给定带权有向图G=（V，E）和源点vV,求从v到G中其余各顶点的最短路径。
二.最短路径
在非网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边数最少的路径。
在网图中，最短路径是指两顶点之间经历的边上权值之和最短的路径。
三.Dijskra算法的基本思想
设置一个集合S存放已经找到最短路径的顶点，S的初始状态只包含源点v，对vi属于V-S，假设从原点v到vi的有向边为最短路径。以后每求得一条最短路径v，……，vk，就将vk加入到集合S中，并将路径v，……，vk，vi与原来的假设相比较，取路径长度较小者为最短路径。重复上述过程，直到集合V中全部顶点加入到集合S中。
四.Dijskra算法的数据结构
1.图的存储结构：
带权的邻接矩阵存储结构（因为需要频繁的读取边）
2.数组dist[n]：
每个分量dist[i]表示当前所找到的从起始点v到终点vi的最短路径的长度。
初态为：若从v到vi有弧，则dist[i]为弧上权值；否则置dist[i]为。
3.数组path[n]:
path数组，下标为图每个顶点的编号，数组中的元素为由某个顶点到这个顶点的顶点编号。
初态为：若从v到vi有弧，则path[i]为0；否则path[i]为-1。
最终输出最短路径，依靠path数组。
每次更改dist数组的内容，都会在path数组中更新上一个结点的内容。
4.数组s[n]:
存放源点和已生成的终点，其初态为只有一个源点v。
s数组都初始化为0（源点初始化为1），当该点被放入s集合中，将其置为1。
五.伪代码
1.初始化数组dist、path和s；
2.while（s中的元素个数<n）
2.1 在dist[n]中求最小值，其下标为k；
2.2 输出dist[i]和path[j]；
2.3 修改数组dist和path；
2.4 将顶点vk添加到数组s中
六.代码实现
#include <iostream>
using namespace std;
const int MAX_VERTEX=10;
//带权（邻接矩阵）有向图
class MGraph{
private:
int arc[MAX_VERTEX][MAX_VERTEX];//邻接矩阵
int vertex[MAX_VERTEX];//存储每个结点的信息
int vertexNum,arcNum;//实际顶点个数，边的条数
public:
MGraph(int n,int e);
void Dijkstra(int start);
int findMinDist(int dist[],int s[]);
void display();
void displayPath(int dist[],int path[],int start,int min);
};
int main(int argc, const char * argv[]) {
MGraph G(5, 7);
//G.display();
G.Dijkstra(0);
return 0;
}
MGraph::MGraph(int n,int e){
int p,q,w;
vertexNum=n;
arcNum=e;
for(int i=0;i<n;i++){//初始化邻接矩阵
for(int j=0;j<n;j++){
arc[i][j]=-1;//-1表示不可到达
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
vertex[i]=i;
arc[i][i]=0;
}
for(int i=0;i<e;i++){
cin>>p>>q>>w;
arc[p][q]=w;
}
}
void MGraph::Dijkstra(int start){
int *s=new int[vertexNum];
int *dist=new int[vertexNum];
int *path=new int[vertexNum];
int i,num=0,min;
for(i=0;i<vertexNum;i++){
dist[i]=arc[start][i];//初始化距离
s[i]=0;//初始化集合S
if(arc[start][i]!=-1){//start到i有路径
path[i]=start;
}
else{
path[i]=-1;
}
}
s[start]=1;//将源点放入集合S中，1表示在集合中，0表示不在集合中
num++;//num记录集合S中元素的个数
// for(int i=0;i<vertexNum;i++){
// cout<<dist[i]<<" ";
// }
// cout<<endl;
while(num<vertexNum){
min=findMinDist(dist, s);//dist中查找集合S中不存在的顶点到源点的距离的最小值
cout<<min<<endl;
s[min]=1;//将新生成的终点加入到集合S中
num++;
for(i=0;i<vertexNum;i++){//更新数组dist和path
if(s[i]==0&&arc[min][i]!=-1){
if(dist[i]==-1){
dist[i]=dist[min]+arc[min][i];//更新dist数组
path[i]=min;//更新path数组
}
else if(dist[i]!=-1&&(dist[min]+arc[min][i])<dist[i]){
dist[i]=dist[min]+arc[min][i];
path[i]=min;//更新path数组
}
}
}
// for(int i=0;i<vertexNum;i++){
// cout<<dist[i]<<" ";
// }
// cout<<endl;
displayPath(dist, path, start, min);
}
delete [] path;
delete [] s;
delete [] dist;
}
int MGraph::findMinDist(int dist[],int s[]){
int i=0,min=0;
for(i=0;i<vertexNum;i++){//给min赋初始值
if(s[i]==0&&dist[i]!=-1){//该顶点不在集合S中
min=i;
break;
}
}
for(;i<vertexNum;i++){
if(s[i]==0){//该顶点不在集合S中
if(dist[i]!=-1&&dist[min]>dist[i]){
min=i;
}
}
}
return min;
}
void MGraph::displayPath(int dist[],int path[],int start,int min){
int pre=min;
int p[vertexNum],i=0,j;
while(pre!=start){
p[i++]=pre;
pre=path[pre];
}
p[i++]=pre;
cout<<"(";
for(j=i-1;j>0;j--){
cout<<p[j]<<",";
}
cout<<p[0]<<")";
cout<<dist[min]<<endl;
}
void MGraph::display(){
for(int i=0;i<vertexNum;i++){
for(int j=0;j<vertexNum;j++){
cout<<arc[i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
}
