题目：53. 最大子数组和

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题目描述：
给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。
子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：
输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：
输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：
输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

1 <= nums.length <= 105
-104 <= nums[i] <= 104

方法一、动态规划解法

动规五部曲如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
举例推导dp数组

以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

C++代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if(nums.size() == 1) return nums[0];
        vector<int>dp(nums.size(), 0);
        dp[0] = nums[0];
        int res = dp[0];
        for(int i = 1; i < nums.size(); i++){
            dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
            if(dp[i] > res){
                res = dp[i];
            }
        }
        return res;
    }
};

时间复杂度： $O (n)$
空间复杂度： $O (n)$

方法二、贪心解法

贪心贪的是哪里呢？

如果 -2 1 在一起，计算起点的时候，一定是从1开始计算，因为负数只会拉低总和，这就是贪心贪的地方！

局部最优：当前“连续和”为负数的时候立刻放弃，从下一个元素重新计算“连续和”，因为负数加上下一个元素 “连续和”只会越来越小。

全局最优：选取最大“连续和”

局部最优的情况下，并记录最大的“连续和”，可以推出全局最优。

从代码角度上来讲：遍历nums，从头开始用count累积，如果count一旦加上nums[i]变为负数，那么就应该从nums[i+1]开始从0累积count了，因为已经变为负数的count，只会拖累总和。

这相当于是暴力解法中的不断调整最大子序和区间的起始位置。

那有同学问了，区间终止位置不用调整么？如何才能得到最大“连续和”呢？

区间的终止位置，其实就是如果count取到最大值了，及时记录下来了。例如如下代码：

if (count > result) result = count;

这样相当于是用result记录最大子序和区间和（变相的算是调整了终止位置）。

如动画所示：

红色的起始位置就是贪心每次取count为正数的时候，开始一个区间的统计。

C++代码

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        // int res = nums[0]; 初始化方法一
        int res = INT_MIN; //初始化方法二
        int count = 0;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++){
            count += nums[i];
            if(count > res){
                res = count;
            }
            if(count <= 0) count = 0;
        }
        return res;
    }
};