前言

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循环神经网络——束搜索

课件

贪心搜索

在seq2seq中我们使用了贪心搜索来预测序列

• 将当前时刻预测概率最大的词输出

但贪心很可能不是最优的:

穷举搜索

最优算法:对所有可能的序列，计算它的概率，然后选取最好的那个
如果输出字典大小为n，序列最长为T，那么我们需要考察nT个序列

• n = 10000，T= 10: $n^T=10^{40}$
• 计算上不可行

束搜索

保存最好的k个候选
在每个时刻，对每个候选新加一项(n种可能)，在kn个选项中选出最好的k个

总结

束搜索在每次搜索时保存k个最好的候选

• k =1时是贪心搜索
• k = n时是穷举搜索

教材

在上一节中，我们逐个预测输出序列， 直到预测序列中出现特定的序列结束词元“<eos>”。 本节将首先介绍贪心搜索（greedy search）策略， 并探讨其存在的问题，然后对比其他替代策略： 穷举搜索（exhaustive search）和束搜索（beam search）。

在正式介绍贪心搜索之前，我们使用与上一节中 相同的数学符号定义搜索问题。 在任意时间步$t^{\prime }$，解码器输出$y_{t^{\prime }}$的概率取决于 时间步$t^{\prime }$之前的输出子序列$y_1,\dots ,y_{t^{\prime }-1}$ 和对输入序列的信息进行编码得到的上下文变量$\mathbf{c}$。 为了量化计算代价，用$\mathcal{Y}$表示输出词表， 其中包含“<eos>”， 所以这个词汇集合的基数$\left|\mathcal{Y}\right|$就是词表的大小。 我们还将输出序列的最大词元数指定为$T^{\prime }$。 因此，我们的目标是从所有$\mathcal{O}({\left|\mathcal{Y}\right|}^{T^{\prime }})$个 可能的输出序列中寻找理想的输出。 当然，对于所有输出序列，在“<eos>”之后的部分（非本句） 将在实际输出中丢弃。

1 贪心搜索

首先，让我们看看一个简单的策略：贪心搜索， 该策略已用于上一节的序列预测。 对于输出序列的每一时间步， 我们都将基于贪心搜索从中找到具有最高条件概率的词元，即：
$$y_{t^{\prime }}=\underset{y\in \mathcal{Y}}{\mathrm{argmax}}P(y\mid y_1,\dots ,y_{t^{\prime }-1},\mathbf{c})$$

一旦输出序列包含了“<eos>”或者达到其最大长度$T^{\prime }$，则输出完成。

如图中， 假设输出中有四个词元“A”“B”“C”和“<eos>”。 每个时间步下的四个数字分别表示在该时间步 生成“A”“B”“C”和“<eos>”的条件概率。 在每个时间步，贪心搜索选择具有最高条件概率的词元。 因此，将在图中 预测输出序列“A”“B”“C”和“<eos>”。 这个输出序列的条件概率是 $0.5\times 0.4\times 0.4\times 0.6=0.048$。
那么贪心搜索存在的问题是什么呢？ 现实中，最优序列（optimal sequence）应该是最大化 ${\prod }_{t^{\prime }=1}^{T^{\prime }}P(y_{t^{\prime }}\mid y_1,\dots ,y_{t^{\prime }-1},\mathbf{c})$值的输出序列，这是基于输入序列生成输出序列的条件概率。 然而，贪心搜索无法保证得到最优序列。

上图中的另一个例子阐述了这个问题。 与前一张图不同，在时间步中， 我们选择图2中的词元“C”， 它具有第二高的条件概率。 由于时间步所基于的时间步和处的输出子序列已从 图1中的“A”和“B”改变为 图9.8.2中的“A”和“C”， 因此时间步处的每个词元的条件概率也在 图2中改变。 假设我们在时间步选择词元“B”， 于是当前的时间步基于前三个时间步的输出子序列“A”“C”和“B”为条件， 这与图1中的“A”“B”和“C”不同。 因此，在 图2中的时间步生成 每个词元的条件概率也不同于 图1中的条件概率。 结果， 图2中的输出序列 “A”“C”“B”和“<eos>”的条件概率为$0.5\times 0.3\times 0.6\times 0.6=0.054$ ， 这大于 图1中的贪心搜索的条件概率。 这个例子说明：贪心搜索获得的输出序列 “A”“B”“C”和“<eos>” 不一定是最佳序列。

2 穷举搜索

如果目标是获得最优序列， 我们可以考虑使用穷举搜索（exhaustive search）： 穷举地列举所有可能的输出序列及其条件概率， 然后计算输出条件概率最高的一个。

虽然我们可以使用穷举搜索来获得最优序列， 但其计算量$\mathcal{O}({\left|\mathcal{Y}\right|}^{T^{\prime }})$可能高的惊人。 例如，当$|\mathcal{Y}|=10000$和$T^{\prime }=10$时， 我们需要评估$10000^{10}=10^{40}$序列， 这是一个极大的数，现有的计算机几乎不可能计算它。 然而，贪心搜索的计算量$\mathcal{O}(\left|\mathcal{Y}\right|T^{\prime })$,它要显著地小于穷举搜索。 例如，当$|\mathcal{Y}|=10000$和$T^{\prime }=10$时， 我们只需要评估$10000\times 10=10^5$个序列。

3 束搜索

那么该选取哪种序列搜索策略呢？ 如果精度最重要，则显然是穷举搜索。 如果计算成本最重要，则显然是贪心搜索。 而束搜索的实际应用则介于这两个极端之间。

束搜索（beam search）是贪心搜索的一个改进版本。 它有一个超参数，名为束宽（beam size）k。 在时间步1，我们选择具有最高条件概率的k个词元。 这k个词元将分别是k个候选输出序列的第一个词元。 在随后的每个时间步，基于上一时间步的k个候选输出序列， 我们将继续从$k\left|\mathcal{Y}\right|$个可能的选择中 挑出具有最高条件概率的k个候选输出序列。

上图演示了束搜索的过程。 假设输出的词表只包含五个元素： Y = { A , B , C , D , E } \mathcal{Y} = \{A, B, C, D, E\} Y={A,B,C,D,E} ， 其中有一个是“<eos>”。 设置束宽为2，输出序列的最大长度为3。 在时间步1，假设具有最高条件概率$P(y_1\mid \mathbf{c})$的词元是A和C。 在时间步2，我们计算所有$y_2\in \mathcal{Y}$为：
$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}P(A,y_2\mid \mathbf{c})=P(A\mid \mathbf{c})P(y_2\mid A,\mathbf{c}),\\ P(C,y_2\mid \mathbf{c})=P(C\mid \mathbf{c})P(y_2\mid C,\mathbf{c}),\end{array}\end{array}$$

从这十个值中选择最大的两个， 比如$P(A,B\mid \mathbf{c})$和$P(C,E\mid \mathbf{c})$。 然后在时间步3，我们计算所有$y_3\in \mathcal{Y}$为：

$$\begin{array}{r}\begin{array}{r}P(A,B,y_3\mid \mathbf{c})=P(A,B\mid \mathbf{c})P(y_3\mid A,B,\mathbf{c}),\\ P(C,E,y_3\mid \mathbf{c})=P(C,E\mid \mathbf{c})P(y_3\mid C,E,\mathbf{c}),\end{array}\end{array}$$

从这十个值中选择最大的两个， 即$P(A,B,D\mid \mathbf{c})$和$P(C,E,D\mid \mathbf{c})$， 我们会得到六个候选输出序列： （1）A；（2）C；（3）A,B；（4）C,E；（5）A,B,D；（6）C,E,D。

最后，基于这六个序列（例如，丢弃包括“<eos>”和之后的部分）， 我们获得最终候选输出序列集合。 然后我们选择其中条件概率乘积最高的序列作为输出序列：

$$\frac{1}{L^{\alpha }}\log P(y_1,\dots ,y_L\mid \mathbf{c})=\frac{1}{L^{\alpha }}\sum _{t^{\prime }=1}^L\log P(y_{t^{\prime }}\mid y_1,\dots ,y_{t^{\prime }-1},\mathbf{c}),$$

其中$L$是最终候选序列的长度， $\alpha$通常设置为$0.75$。 因为一个较长的序列在上式的求和中会有更多的对数项， 因此分母中$L^{\alpha }$的用于惩罚长序列。

束搜索的计算量为$\mathcal{O}(k\left|\mathcal{Y}\right|T^{\prime })$， 这个结果介于贪心搜索和穷举搜索之间。 实际上，贪心搜索可以看作一种束宽为1的特殊类型的束搜索。 通过灵活地选择束宽，束搜索可以在正确率和计算代价之间进行权衡。

4 小结

• 序列搜索策略包括贪心搜索、穷举搜索和束搜索。

• 贪心搜索所选取序列的计算量最小，但精度相对较低。

• 穷举搜索所选取序列的精度最高，但计算量最大。

• 束搜索通过灵活选择束宽，在正确率和计算代价之间进行权衡。