管理类联考——数学——汇总篇——知识点突破——代数——函数——记忆

news2024/11/18 8:27:19

文章目录

  • 整体
    • 文字提炼
    • 图像绘画
  • 考点
    • 记忆/考点汇总——按大纲

本篇思路:根据各方的资料,比如名师的资料,按大纲或者其他方式,收集/汇总考点,即需记忆点,在通过整体的记忆法,比如整体信息很多,通常使用记忆宫殿法,绘图记忆法进行记忆,针对局部/细节/组成的部分,可通过多种方法,比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。

整体

整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆

文字提炼

通过目录大纲法和重点归纳法等,进行重要考点的提炼串联

函数、方程、不等式:【函数核心在于图像,图像又涉及交点;方程核心在于根】
第一:从一元二次函数、方程、不等式出发(因为三者知识点最多且互有关联)
1.对于一元二次函数:
【固定做题法:
⟹ \Longrightarrow 一看开口方向:(注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论)二次函数,二次方程,二次不等式,抛物线(默认a≠0);函数,方程,不等式(需要对a是否等于0进行分类讨论)
⟹ \Longrightarrow 二看判别式: △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac =b24ac
⟹ \Longrightarrow 三看对称轴: x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab
⟹ \Longrightarrow 四看交点值:顶点坐标: ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (2ab,4a4acb2)。当 △ = b 2 − 4 a c > 0 △=b^2-4ac>0 =b24ac>0时,函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0),则 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ = △ ∣ a ∣ |M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} M1M2=x1x2=a

图像绘画

记忆宫殿法的记忆桩来存放一二级目录,绘图记忆法记忆细节等。

床尾游泳池
U型泳池放置一元二次函数
泳池上部分:有颗苹果
泳池下部:有着顶点,一边是对称轴,一边是y最值。

考点

通过汇总各方大佬资料,作为收集考点/记忆点的信息输入:XX,收集汇总如下:

汇总考点的必要,或者说,汇总记忆的内容的必要,不言而喻,首先,你要记忆东西,得有东西,所以你要梳理出你需要记忆的全部东西,其次,在收集多个大佬的梳理的考点,又可以找出各条逻辑帮助记忆考点,所以,梳理考点是很有必要的,是记忆的基础,是记忆宫殿里面的物品,是我们最后考试需要去找到的解题物品。

记忆/考点汇总——按大纲

——一元二次函数——【图像→交点】
—— a x 2 + b x + c = y ax^2+bx+c=y ax2+bx+c=y二次函数核心在于“图像”:整体可以由: 图像(形状,上下,交点) ⟹ \Longrightarrow △ △ ⟹ \Longrightarrow 抛物线与x轴交点 ⟹ \Longrightarrow 交点图形
——【固定做题法:
⟹ \Longrightarrow 一看开口方向:(注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论)二次函数,二次方程,二次不等式,抛物线(默认a≠0);函数,方程,不等式(需要对a是否等于0进行分类讨论)
⟹ \Longrightarrow 二看判别式: △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac =b24ac
⟹ \Longrightarrow 三看对称轴: x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab
⟹ \Longrightarrow 四看交点值:顶点坐标: ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (2ab,4a4acb2)。当 △ = b 2 − 4 a c > 0 △=b^2-4ac>0 =b24ac>0时,函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0),则 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ = △ ∣ a ∣ |M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} M1M2=x1x2=a 。】

1.三种函数形式
一般式 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)
配方式/顶点式 y = a ( x + b 2 a ) 2 + 4 a c − b 2 4 a y=a(x+\frac{b}{2a})^2+\frac{4ac-b^2}{4a} y=a(x+2ab)2+4a4acb2,对称轴为 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab,顶点坐标为 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (2ab,4a4acb2)
两根/零点式 y = a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) y=a(x-x_1)(x-x_2) y=a(xx1)(xx2) x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是函数的两个根,对称轴为 x = x 1 + x 2 2 x=\frac{x_1+x_2}{2} x=2x1+x2

2.图像特点
图像形状:二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)的图像是一条抛物线。——【图像的全身】
开口方向:由a决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。——【图像的嘴巴】
对称轴:以 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab为对称轴。——【图像的比例】
顶点坐标 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (2ab,4a4acb2)。——【图像的头部】
y轴截距:c,c决定抛物线与y轴交点的位置,影响顶点高度。
定义域:一般隐藏在判别式大于等于零中。
最值:当a>0(a<0)时,有最小(大)值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4acb2,无最大(小)值。——【需验证对称轴是否在定义域内,在则可套用顶点坐标求最值】
单调性:当a>0时,抛物线开口向上,函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (,2ab]上递减,在 [ − b 2 a , + ∞ ) [-\frac{b}{2a},+∞) [2ab,+)上递增,当 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab时, f ( x ) m i n = 4 a c − b 2 4 a f(x)_{min}=\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)min=4a4acb2;当 a < 0 a<0 a0时,抛物线开口向下,函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (,2ab]上递增,在 [ − b 2 a , + ∞ ) [-\frac{b}{2a},+∞) [2ab,+)上递减,当 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab时, f ( x ) m a x = 4 a c − b 2 4 a f(x)_{max}=\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)max=4a4acb2。——【】
交点图像:当 △ = b 2 − 4 a c > 0 △=b^2-4ac>0 =b24ac>0时,函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0),则 ∣ M 1 M 2 ∣ = ∣ x 1 − x 2 ∣ = △ ∣ a ∣ |M_1M_2|=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{△}}{|a|} M1M2=x1x2=a 。——【图像的内部】

3.参数含义:二次函数 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)
a:当a>0(a<0)时,有最小(大)值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4acb2,无最大(小)值。
b:影响对称轴位置,因以 x = − b 2 a x=-\frac{b}{2a} x=2ab为对称轴。——【a,b决定对称轴的位置】
c:代表图像在y轴上的截距(纵截距),影响顶点高度,因顶点坐标 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (2ab,4a4acb2)

4.图像与x轴的位置
已知函数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c与x轴交点的个数,可知
(1)若函数与x轴有2个交点,则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c > 0 a≠0和△=b^2-4ac>0 a=0=b24ac0;——【【易错点】此类题易忘掉一元二次函数(方程、不等式)的二次项系数不能为0。要使用 △ = b 2 − 4 a c △=b^2-4ac =b24ac,必先看二次项系数是否为0。】
(2)若函数与x轴有1个交点,即抛物线与x轴相切或图像是一条直线,则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c = 0 a≠0和△=b^2-4ac=0 a=0=b24ac=0;或 a = 0 和 b ≠ 0 a=0和b≠0 a=0b=0
(3)若函数与轴没有交点,则 a ≠ 0 和△ = b 2 − 4 a c < 0 a≠0和△=b^2-4ac<0 a=0=b24ac0 a = b = 0 和 c ≠ 0 a=b=0和c≠0 a=b=0c=0
(4)图像始终位于x轴上方,则 a > 0 和△ = b 2 − 4 a c < 0 a>0和△=b^2-4ac<0 a0=b24ac0
(5)图像始终位于x轴下方,则 a < 0 和△ = b 2 − 4 a c < 0 a<0和△=b^2-4ac<0 a0=b24ac0

5.图像与一次函数的交点
二次函数 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c与一次函数 y = k x + m y=kx+m y=kxm交点情况有三种,利用数形结合思想,令两函数值相等,得到新的一元二次方程 a x 2 + b x + c − ( k x + m ) = 0 ax^2+bx+c-(kx+m)=0 ax2+bxc(kx+m)=0
(1)2个交点:新的一元二次方程 △> 0 △>0 0
(2)1个交点:①一次函数与二次函致相切,新的一元二次方程 △ = 0 △=0 =0。特别地,在顶点处相切时, k = 0 k=0 k=0,一次函数为 y = 4 a c − b 2 4 a y=\frac{4ac-b^2}{4a} y=4a4acb2。②一次函数垂直于x轴,k不存在。
(3)0个交点:新的一元二次方程 △< 0 △<0 0

6.特殊的抛物线 y = a x 2 + b x + c ( a ≠ 0 ) y=ax^2+bx+c(a≠0) y=ax2+bx+c(a=0)
(1)若 b = 0 b= 0 b=0,则 y = a x 2 + c y=ax^2+c y=ax2c,抛物线的对称轴为y轴。
(2)若c = 0,则 y = a x 2 + b x y=ax^2+bx y=ax2+bx,抛物线过原点。
(3)若 b = c = 0 b=c=0 b=c=0,则 y = a x 2 y= ax^2 y=ax2,抛物线的对称轴为y轴且过原点。

——其他函数——【记图像可辅助记忆性质】
正比例函数 y = k x ( k ≠ 0 ) y=kx(k≠0) y=kx(k=0),定义域为 R R R,值域为 R R R,单调性为 k > 0 k>0 k0时,单调递增; k < 0 k<0 k0时,单调递减,图像是“一条直线”
反比例函数 y = k x ( k 为常数, k ≠ 0 ) y=\frac{k}{x}(k为常数,k≠0) y=xk(k为常数,k=0),定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 xx=0},单调性为k>0时,在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) (-∞,0),(0,+∞) (,0),(0,+)上单调递减;k<0时,在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , + ∞ ) (-∞,0),(0,+∞) (,0),(0,+)上单调递增,值域为{ y ∣ y ≠ 0 y|y≠0 yy=0},图像是“两条圆心对称的圆弧”
对勾函数 y = x + 1 x y=x+\frac{1}{x} y=x+x1,定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 xx=0},值域为 ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( 2 , + ∞ ) (-∞,-2)∪(2,+∞) (,2)(2,+),单调性为在区间 ( − ∞ , − 1 ) , ( 1 , + ∞ ) (-∞,-1),(1,+∞) (,1),(1,+)上单调递增;在区间 ( − 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) (-1,0),(0,1) (1,0),(0,1)上单调递减,图像是“两条圆心对称的耐特勾”
指数函数 y = a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=a^x(a>0,a≠1) y=ax(a0,a=1),定义域为 ( − ∞ , + ∞ ) (-∞,+∞) (,+),值域 ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) (0,+),单调性为当 a > 1 a>1 a1时,是增函数;当 0 < a < 1 0<a<1 0a1时,是减函数。图像恒过点 ( 0 , 1 ) ,是“一条弧线” (0,1),是“一条弧线” (0,1),是一条弧线。—— a > 0 a>0 a0 0 < a < 1 0<a<1 0a1两图像形成交叉于 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)的文字yi乂】——【指数函数的重点有两部分,一部分是图像性质,往往会涉及利用单调性比大小。另一部分是运算性质,考生需要牢记指数函数的运算公式。】
对数函数 y = l o g a x ( a > 0 且 a ≠ 1 ) y=log_ax(a>0且a≠1) y=logax(a0a=1),定义域为 ( 0 , + ∞ ) (0,+∞) (0,+),值域 全体实数 R 全体实数R 全体实数R,单调性为当 a > 1 a>1 a1时,是增函数;当 0 < a < 1 0<a<1 0a1时,是减函数。图像恒过点 ( 1 , 0 ) ,是“一条弧线” (1,0),是“一条弧线” (1,0),是一条弧线。它与 y = a x y=a^x y=ax互为反函数。—— a > 0 a>0 a0 0 < a < 1 0<a<1 0a1两图像形成交叉于 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)的躺着的文字yi乂】——【对数函数的重点有两部分,一部分是图像性质,往往会涉及利用单调性比大小。另一部分是运算性质,考生需要牢记对数函数的运算公式。此外,对数函数有一个最容易设置陷阱的地方就是在对数函数中要求真数部分恒大于0。】
反函数:同底的指数函数 y = a x y=a^x y=ax与对数函数 y = l o g a x y=log_ax y=logax互为反函数。
指数运算 a m ⋅ a n = a m + n a^m·a^n=a^{m+n} aman=am+n a m ÷ a n = a m − n a^m÷a^n=a^{m-n} am÷an=amn ( a m ) n = a m n (a^m)n=a^{mn} (am)n=amn a 0 = 1 a^0=1 a0=1 a − n = 1 a n a^{-n}=\frac{1}{a^n} an=an1 a m n = a m n a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} anm=nam ——【指数函数重点=图像+运算】
对数运算:当 a > 0 a>0 a0 a ≠ 1 a≠1 a=1时, m > 0 m>0 m0 n > 0 n>0 n0,则 l o g 底 真 log_底真 log:——【乘除变加减,指数提到前】
指对互换: a b = N a^b=N ab=N ⟺ \Longleftrightarrow l o g a N = b ( a > 0 , a ≠ 1 , N > 0 ) log_aN=b(a>0,a≠1,N>0) logaN=b(a0a=1N0)
同底对数: l o g a M + l o g a N = l o g a ( M N ) log_aM+log_aN=log_a(MN) logaM+logaN=loga(MN)
同底对数: l o g a M − l o g a N = l o g a ( M N ) log_aM-log_aN=log_a(\frac{M}{N}) logaMlogaN=loga(NM)
幂运算: l o g a m b n = n m l o g a b log_{a^m}b^n=\frac{n}{m}log_ab logambn=mnlogab m = 1 m=1 m=1时, l o g a b n = n l o g a b log_ab^n=nlog_ab logabn=nlogab m = n m=n m=n时, l o g a m b n = l o g a b log_{a^m}b^n=log_ab logambn=logab l o g a M n = 1 n l o g a M log_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}log_aM loganM =n1logaM
换底公式: l o g a b = l o g c b l o g c a = l g b l g a = l n b l n a log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}=\frac{lgb}{lga}=\frac{lnb}{lna} logab=logcalogcb=lgalgb=lnalnb l o g a b = 1 l o g b a log_ab=\frac{1}{log_ba} logab=logba1 l o g a M = l o g b M ÷ l o g b a ( b > 0 且 b ≠ 1 ) log_aM=log_bM÷log_ba(b>0且b≠1) logaM=logbM÷logba(b0b=1),一般c取10或e。——【换底公式,真数在上,底数在下】
常用对数:以10为底的对数, l o g 10 N log_{10}N log10N,简记为 l g N lgN lgN
自然对数:以无理数e(e=2.71828…)为底的对数, l o g e N log_eN logeN,简记为 l n N lnN lnN
特殊对数: l o g a 1 = 0 log_a1=0 loga1=0 l o g a a = 1 log_aa=1 logaa=1 l o g a b ⋅ l o g b a = 1 log_ab·log_ba=1 logablogba=1,负数和零没有对数, a l o g a b = b a^{log_ab}=b alogab=b l o g a a s = s log_aa^s=s logaas=s—— a l o g a b = b a^{log_ab}=b alogab=b
最值函数
最大值函数: m a x max max{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最大的数;本质为: m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ a ≥a a m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ b ≥b b m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ c ≥c c。对于函数而言, m a x max max{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最高的部分。
最小值函数: m i n min min{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最小的数。本质为: m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ a ≤a a m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ b ≤b b m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ c ≤c c。对于函数而言, m i n min min{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最低的部分。
对于max函数图像,先画出各函数图像,然后取图像位于上方部分;对于min函数图像,先画出各函数图像,然后取图像位于下方部分。
绝对值函数
y = ∣ a x + b ∣ y=|ax+b| y=ax+b先画 y = a x + b y=ax+b y=ax+b的图像,再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
y = ∣ a x 2 + b x + c ∣ y=|ax^2+bx+c| y=ax2+bx+c的图像,再将x轴下方的图像翻到x轴上方。
y = a x 2 + b ∣ x ∣ + c y=ax^2+b|x|+c y=ax2+bx+c先画 y = a x 2 + b x + c y=ax^2+bx+c y=ax2+bx+c的图像,再将y轴左侧图像删掉,替换成y轴右侧对称过来的图像。
∣ a x + b y ∣ = c b |ax+by|=cb ax+by=cb表示两条平行的直线 a x + b y = ± c ax+by=±c ax+by=±c,且两者关于原点对称。
∣ a x ∣ + ∣ b y ∣ = c |ax|+|by|=c ax+by=c,当 a = b a=b a=b时,表示正方形,当 a ≠ b a≠b a=b时,表示菱形。
∣ x y ∣ + a b = a ∣ x ∣ + b ∣ y ∣ |xy|+ab=a|x|+b|y| xy+ab=ax+by ∣ x y ∣ + a b = a ∣ x ∣ + b ∣ y ∣ |xy|+ab=a|x|+b|y| xy+ab=ax+by ⟹ \Longrightarrow ∣ x y ∣ − a ∣ x ∣ − b ∣ y ∣ + a b = 0 |xy|-a|x|-b|y|+ab=0 xyaxby+ab=0 ⟹ \Longrightarrow ∣ x ∣ ( ∣ y ∣ − a ) − b ( ∣ y ∣ − a ) = 0 |x|(|y|-a)-b(|y|-a)=0 x(ya)b(ya)=0 ⟹ \Longrightarrow ( ∣ x ∣ − b ) ( ∣ y ∣ − a ) = 0 (|x|-b)(|y|-a)=0 (xb)(ya)=0 ⟹ \Longrightarrow ∣ x ∣ = b |x|=b x=b ∣ y ∣ = a |y|=a y=a, 故表示由 x = ± b , y = ± a x=±b,y=±a x=±b,y=±a围成的图形,当 a = b a=b a=b时,表示正方形,当 a ≠ b a≠b a=b时,表示矩形。
在这里插入图片描述
y = ∣ f ( x ) ∣ y=|f(x)| y=f(x)上翻下型:先画 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)图像,再将图像位于x轴下方的部分翻到x轴上方。
y = f ( ∣ x ∣ ) y=f(|x|) y=f(x)右翻左型:先画 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的图像,保留y轴右侧部分;再将右侧的部分翻转到y轴左侧。

分段函数
分段函数:对于其定义域内的自变量x的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示。分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式。对于分段函数,根据不同取值区间,选择不同的表达式代入求解。
模型识别:自变量在不同取值范围内有不同的对应法则。
解题方法:求分段函数的函数值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)时,应该首先判断 x 0 x_0 x0所属的取值范围,然后把 x 0 x_0 x0代入到相应的解析式中进行计算。
思路:分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数。它是一个函数,是一类表达形式特殊的函数,却又常常被学生误认为是几个函数。它的定义城是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值城的并集。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法。分段函数应用较广,做题时要根据范围来确定对应的表达式。

复合函数
(1)定义:已知函数 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u),又 u = g ( x ) u=g(x) u=g(x),则称函数 y = f ( g ( x ) ) y=f(g(x)) y=f(g(x))为函数 y = f ( u ) y =f(u) y=f(u) u = g ( x ) u =g(x) u=g(x)的复合函数。其中y称为因变量,x称为自变量,u称为中间变量。
(2)求复合函数的定义域
①复合函数的定义域,是函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]中x的取值范围;
②若函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b),则复合函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]的定义域由 a < g ( x ) < b a<g(x)<b ag(x)b求出;
③若函数 y = f [ g ( x ) ] y=f[g(x)] y=f[g(x)]的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b),则 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 g ( x ) g(x) g(x) a < x < b a<x<b axb上的值域。
注意: g ( x ) g(x) g(x)的值域对应 y = f ( u ) y=f(u) y=f(u)的定义域。对于复合函数,可以将内部的函数看成一个整体进行分析。此外,内部函数的值域对应外部函数的定义域。
(3)复合函数的单调性——【同增异减】
在这里插入图片描述
奇偶函数
① 奇函数的性质
定义域关于原点对称,图像关于原点对称: f ( − x ) = − f ( x ) f(-x)=-f(x) f(x)=f(x)
② 偶函数的性质
定义域关于原点对称,图像关于y轴对称: f ( − x ) = f ( x ) f(-x)=f(x) f(x)=f(x)

反比例函数 y = k x ( k ≠ 0 ) y=\frac{k}{x}(k≠0) y=xk(k=0)
在一个反比例函数图像上任取一点,过该点分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为 ∣ k ∣ |k| k

在这里插入图片描述

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在当今数字化时代,网络安全问题变得越来越重要。其中,服务器被入侵是一种常见的安全威胁。当服务器被入侵时,我们需要采取一系列措施来排查和解决问题。本文将为您提供服务器被入侵后的排查步骤。 第一步:确认服务器被入侵 当发现…

某软件商店app抓包分析与sign加密算法实现

文章目录 1. 写在前面2. 抓包配置3. 抓包分析4. 接口测试5. sign加密算法6. 数据效果展示 【作者主页】:吴秋霖 【作者介绍】:Python领域优质创作者、阿里云博客专家、华为云享专家。长期致力于Python与爬虫领域研究与开发工作! 【作者推荐】…

递归算法学习——二叉树的伪回文路径

1,题目 给你一棵二叉树,每个节点的值为 1 到 9 。我们称二叉树中的一条路径是 「伪回文」的,当它满足:路径经过的所有节点值的排列中,存在一个回文序列。 请你返回从根到叶子节点的所有路径中 伪回文 路径的数目。 示例…

【vue_2】创建一个弹出权限不足的提示框

定义了一个名为 getUserRole 的 JavaScript 函数,该函数接受一个参数 authorityId,根据这个参数的不同值返回相应的用户角色字符串。这段代码的目的是根据传入的 authorityId 值判断用户的角色,然后返回相应的角色名称。 如果 authorityId 的…

Python中生成随机数技巧与案例

在Python中生成随机数有几种方式,其中常用的方式包括使用random模块、numpy库以及secrets模块。这里给你举例说明一下: random模块 import random random_floatrandom.random() print(f生成一个0-1的随机浮点数:{random_float})random_intrandom.randin…

调整 ARIMA 进行预测:Python 中的一种简单方法

一、说明 ARIMA 时间序列预测模型非常适合具有趋势和季节性的序列。它是一种被广泛采用的经典模型,通常作为现代深度学习方法基准测试的基准。然而,估计其准确的参数具有挑战性。研究人员和开发人员通常使用包括视觉绘图在内的试错方法。 二、什么是ARI…

使用Python的turtle模块绘制彩色螺旋线

1.1引言: 在Python中,turtle模块是一个非常有趣且强大的工具,它允许我们以一个可视化和互动的方式学习编程。在本博客中,我们将使用turtle模块来绘制一个彩色的螺旋线。通过调用各种命令,我们可以引导turtle绘制出指定…

RevCol实战:使用RevCol实现图像分类任务(一)

文章目录 摘要安装包安装timm 数据增强Cutout和MixupEMA项目结构计算mean和std生成数据集 摘要 可逆柱状结构(RevCol)是一种网络结构,它受到GLOM(Global Columnar Memory)的启发。RevCol由N个子网络(或称为…

常见树种(贵州省):018栎灌、油茶、火棘、铁仔、小檗、勾儿茶、马桑、车桑子、山苍子、楮

摘要:本专栏树种介绍图片来源于PPBC中国植物图像库(下附网址),本文整理仅做交流学习使用,同时便于查找,如有侵权请联系删除。 图片网址:PPBC中国植物图像库——最大的植物分类图片库 一、茅栗 …

萨科微举办工作交流和业务分享会

萨科微(www.slkoric.com)举办工作交流和业务分享会,狠抓人才培养团队的基本功建设。萨科微总经理宋仕强先生认为,当下市场经济形势复杂多变,给公司经营带来巨大压力,同时考验着企业自身的发展韧性。萨科微公…

认识Linux操作系统

什么是操作系统? 操作系统是一款软硬件资源管理的软件Linux是一款具体的操作系统的品类(Linux内核是用C语言写的)centos7是一款具体的Linux操作系统 为什么要有操作系统? Linux操作系统 Linux是一种自由和开放源代码的类UNIX操…

php获取当前域名方法

使用$_SERVER[HTTP_HOST]变量只获取到域名: $domain $_SERVER[HTTP_HOST]; echo $domain; 获取包含协议和域名的完整URL $protocol isset($_SERVER[HTTPS]) && $_SERVER[HTTPS] on ? https:// : http://; $domain $_SERVER[HTTP_HOST]; $current_url…

Ceph分布式存储系统的介绍及详细安装部署过程:详细实战版(保姆级)

Ceph简介 Ceph是一个统一的分布式存储系统,设计初衷是提供较好的性能、可靠性和可扩展性。 Ceph项目最早起源于Sage就读博士期间的工作(最早的成果于2004年发表),并随后贡献给开源社区。 在经过了数年的发展之后,目前…

基于Python的面向对象分类实例Ⅱ

接上一部分继续介绍~ 一、地类矢量转栅格 这一步是为了能让地类值和影像的对象落在同一区域,从而将影像中的分割对象同化为实际地物类别。 train_fn r".\train_data1.shp" train_ds ogr.Open(train_fn) lyr train_ds.GetLayer() driver gdal.GetDrive…

【GPT-3.5】通过python调用ChatGPT API与ChatGPT对话交流

文章目录 一、引言二、AIGC简介三、OpenAI介绍四、GPT-3.5介绍五、获得OpenAI API Key六、调用ChatGPT API实现与ChatGPT对话七、参考链接 一、引言 ChatGPT 的火爆,成功带火了AIGC,让它进入大众的视野。 ChatGPT 和Whisper API 开发者现在可以通过API将…

【Mybatis-Plus篇】Mybatis-Plus基本使用

💝💝💝欢迎来到我的博客,很高兴能够在这里和您见面!希望您在这里可以感受到一份轻松愉快的氛围,不仅可以获得有趣的内容和知识,也可以畅所欲言、分享您的想法和见解。 推荐:kwan 的首页,持续学…

网络数据结构skb_buff原理

skb_buff基本原理 内核中sk_buff结构体在各层协议之间传输不是用拷贝sk_buff结构体,而是通过增加协议头和移动指针来操作的。如果是从L4传输到L2,则是通过往sk_buff结构体中增加该层协议头来操作;如果是从L4到L2,则是通过移动sk_…

一个正整数转为2进制和8进制,1的个数相同的第23个数是什么?

package cn.com;import java.lang.*;//默认加载public class C2 {//10进制转8进制static int HtoO(int n){int cnt 0;while(n!0){cntn%8;n/8;}return cnt;}//10进制转2进制static int HtoB(int n){int cnt 0;while(n!0){cntn%2;n/2;}return cnt;}public static void main(Str…

Linux常用命令——bind命令

在线Linux命令查询工具 bind 显示或设置键盘按键与其相关的功能 补充说明 bind命令用于显示和设置命令行的键盘序列绑定功能。通过这一命令,可以提高命令行中操作效率。您可以利用bind命令了解有哪些按键组合与其功能,也可以自行指定要用哪些按键组合…