1. 题目链接：300. 最长递增子序列

2. 题目描述：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]
输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]
输出：1

提示：

• 1 <= nums.length <= 2500
• -104 <= nums[i] <= 104

3. 解法1（暴力搜索）：

【时间复杂度过高会超时】

3.1 算法思路：

1. 递归含义：给dfs一个使命，给他应该数i，返回以i位置为起点的最长递增序列的长度
2. 函数体：遍历i后面的所有位置，看看谁能加到i这个元素的后面。统计所有情况下的最大值
3. 递归出口：因为我们是判断之后再进入递归的，因此没有出口

3.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int ret=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            ret=max(ret,dfs(i,nums));
        }
        return ret;
    }
    int dfs(int pos,vector<int>&nums)
    {
        int ret=1;
        for(int i=pos+1;i<nums.size();i++)
        {
            if(nums[i]>nums[pos])
            ret=max(ret,dfs(i,nums)+1);
        }
        return ret;
    }
};

4. 解法2（记忆化搜索）：

4.1 算法思路：

1. 加上一个备忘录
2. 每次进入递归的时候，去备忘录里面看看
3. 每次返回的时候，将结果加入到备忘录里面

4.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int ret=0; // 初始化最长递增子序列的长度为0
        int n=nums.size(); // 获取数组长度
        vector<int> memo(n); // 创建一个与nums长度相同的memo数组，用于存储每个位置的最长递增子序列长度
        for(int i=0;i<n;i++) // 遍历nums数组
        {
            ret=max(ret,dfs(i,nums,memo)); // 更新最长递增子序列的长度
        }
        return ret; // 返回最长递增子序列的长度
    }
    int dfs(int pos,vector<int>&nums,vector<int>&memo) // 深度优先搜索函数，用于计算以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度
    {
        if(memo[pos]!=0) return memo[pos]; // 如果memo数组中已经存在以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度，则直接返回该值
        int ret=1; // 初始化以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度为1
        for(int i=pos+1;i<nums.size();i++) // 遍历nums数组，从pos+1开始
        {
            if(nums[i]>nums[pos]) // 如果当前元素大于pos位置的元素
            ret=max(ret,dfs(i,nums,memo)+1); // 更新以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度
        }
        memo[pos]=ret; // 将计算出的以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度存入memo数组
        return ret; // 返回以pos位置为结尾的最长递增子序列的长度
    }
};

5. 解法3（动态规划）：

5.1 算法思路：

1. 递归含义->状态表示

2. 函数体->状态转移方程

3. 递归出口->初始化

5.2 C++算法代码：

class Solution {
public:
    // 计算最长递增子序列的长度
    int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(); // 获取数组长度
        vector<int> dp(n, 1); // 初始化动态规划数组，dp[i]表示以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度
        int ret = 0; // 初始化最长递增子序列的长度为0

        // 从后往前遍历数组
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
            // 遍历当前元素之后的元素
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                // 如果当前元素大于后面的元素，更新dp[i]的值
                if (nums[j] > nums[i]) {
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);
                }
            }
            ret = max(ret, dp[i]); // 更新最长递增子序列的长度
        }
        return ret; // 返回最长递增子序列的长度
    }
};