数据结构-二叉树的前、中、后序遍历

news2024/10/7 5:30:53

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1. 二叉树的遍历

1.1 前序

1.2 中序

1.3 后序

1.4 遍历的复杂度

2.二叉树节点个数及高度的计算

2.1 二叉树节点个数

2.2 二叉树叶子节点的个数

2.3 二叉树高度

2.4 二叉树第k层节点个数

1. 二叉树的遍历

前面的章节中，我们学习了二叉树的顺序结构，二叉树除了顺序结构，还有链式结构，在学链式结构之前，要求深入掌握二叉树的结构，下面我们先来手动快速的创建一个简单的二叉树，方便学习，后面再来研究二叉树的真正创建的方式。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail\n");
		return NULL;
	}
	node->left = NULL;
	node->right = NULL;
	node->data = x;
	return node;
}

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->left = node2;
	node1->right = node4;
	node2->left = node3;
	node4->left = node5;
	node4->right = node6;
	return node1;
}

 下图就是我们上述代码创建的二叉树，从今天开始，我们看到二叉树要将其分为三个部分：根、左子树、右子树。

图中每个子树也能再分为根和左子树、右子树，直到不能再分为止。 

而二叉树的遍历分为：前序、中序、后序、层序。今天先来学习前中后序，层序后面再学。

1.1 前序

前序要求的访问次序：根、左子树、右子树。 

按照前序的访问规则，对上述代码的节点的访问次序依次是: 1 2 3 null null null 4 5 null null 6 null null。

先访问根节点1，然后访问它的左子树，左子树中先访问根节点2，然后访问2的左子树3，3的左右子树是null null，然后继续访问2的右子树为null，接着访问1的右子树，右子树中先访问根节点4，然后访问4的左子树5，再访问5的左右子树null null，接着访问4的右子树6,6的左右子树是null null，所以最终的访问次序是：1 2 3 null null null 4 5 null null 6 null null 

前序的代码实现：

//前序
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root==NULL)
	{
		printf("null ");
		return;
	}
	printf("%d ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}

int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	PrevOrder(root);
	printf("\n");
	return 0;
}

打印结果：

递归过程如下：

递归调用的过程实际就是函数栈帧的创建与销毁的过程，每次调用完左子树，它的栈帧就销毁了，调用右子树时会共用左子树的栈帧。

1.2 中序

中序要求的访问次序：左子树、根、右子树。

按照中序的访问规则，对上述代码中的节点的访问次序依次是：null 3 null 2 null 1 null 5 null 4 null 6 null。

因为每个子树都可以被拆成左子树、根和右子树，而且在访问时左子树的优先级高，左子树可以一直分到3，所以从3的左子树开始访问：null 3 null，然后把null 3 null作为2的左子树，再访问2和2的右子树：null 3 null 2 null，接着把 null 3 null 2 null 作为1的左子树，访问1和1的右子树......，最终访问的次序应该是：null 3 null 2 null 1 null 5 null 4 null 6 null。

中序代码实现：

//中序
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("null ");
		return;
	}
	InOrder(root->left);
	printf("%d ", root->data);
	InOrder(root->right);
}

int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	//前序
	PrevOrder(root);
	printf("\n");
	//中序
	InOrder(root);
	printf("\n");
	return 0;
}

运行结果：

1.3 后序

后序要求的访问次序：左子树、右子树、根。 

按照后序的访问规则，对上述代码中的节点的访问次序依次是：null null 3 null 2 null null 5 null null 6 4 1。 与分析前序和中序一样，这里不再详解。

后序代码实现:

//后序
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("null ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%d ", root->data);
}
int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	//前序
	PrevOrder(root);
	printf("\n");
	//中序
	InOrder(root);
	printf("\n");
	//后序
	PostOrder(root);
	printf("\n");
	return 0;
}

运行结果：

以上就是二叉树的前、中、后序遍历了，这几种方式其实就是对根的访问的先后问题，如果上述内容还不是很明白，最好画一下递归调用图，这样就很清楚了。

1.4 遍历的复杂度

时间复杂度：O(N)，因为二叉树一共有N个节点，递归一共调用N次，所以时间复杂度是O(N)。

空间复杂度：O(h),h的范围是：[ logN, N ]

为什么空间复杂度是这样的呢？

我们前面的章节中讲过，时间是一去不复返的，所以时间要累加计算，而空间是可以共用的，所以空间不能累加计算。我们在调用函数时，左子树调用完，它的栈帧会销毁，而调用右子树时，它会共用左子树的栈帧，而假设二叉树有N个节点，当它是满二叉树时，由于左右子树共用一个空间，只需创建空间logN次，而如果二叉树像下图中的情况，它就要创建空间N次，所以空间复杂度是:O(logN~N)

2.二叉树节点个数及高度的计算

2.1 二叉树节点个数

法一：

要计算二叉树节点个数，我们只需要将二叉树遍历一遍(前、中、后序都可以），每次调用时使size++即可，注意size要定义为全局变量，防止每次调用的时候size被置为0

代码如下：

//二叉树节点个数
int size = 0;
int BTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return;
	}
	size++;
	BTreeSize(root->left);
	BTreeSize(root->right);
}

int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	BTreeSize(root);
	printf("BTreeSize:%d\n", size);
	return 0;
}

法二：

把计算节点个数分为，左子树节点个数+右子树节点个数+根节点个数，而每个子树还能分为左子树、右子树和根，所以我们使用递归的思想，如果根节点不为空，就分别计算它的左右子树节点个数+它自身，如果为空，就返回0。

代码如下：

//二叉树节点个数
int BTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	return  BTreeSize(root->left) + BTreeSize(root->right)+1;
}

int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf("BTreeSize:%d\n", BTreeSize(root));
	return 0;
}

运行结果：

2.2 二叉树叶子节点的个数

要计算叶子节点，也可以使用上述分开计算的方法，分别计算左子树和右子树的叶子节点个数，然后相加，递归的条件是：如果左子树和右子树的节点都是NULL，那说明是叶子节点，返回1，否则，说明是分支节点，继续往下递归。

代码如下：

//二叉树叶子节点
int BLeafNum(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->left == NULL && root->right == NULL)
	{
		return 1 ;
	}
	return BLeafNum(root->left) + BLeafNum(root->right);
}

int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf("BLeafNum:%d\n", BLeafNum(root));
	return 0;
}

运行结果：

2.3 二叉树高度

 求二叉树高度，也可以分别求左子树和右子树的高度，然后比较大小，返回大的值，并将该值加一就是二叉树的高度，加一是因为左右子树距离根节点还有一层。

求左右子树的高度可以再分解为上面的步骤，所以使用递归解决问题。

代码如下：

//二叉树高度
int BTreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	int LeftNum = BTreeHeight(root->left);
	int RightNum = BTreeHeight(root->right);
	return LeftNum > RightNum ? LeftNum + 1 : RightNum + 1;
}
int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf(" BTreeHeight:%d\n", BTreeHeight(root));

	return 0;
}

 运行结果：

2.4 二叉树第k层节点个数

该问题可以转换成：分别求左子树的第k-1层和右子树的第k-1层，然后返回它们的和。

结束条件是：k==1 且k不为空。

比如我们要求1的第三层，就是求2和4的第二层，也就是求3 5 6的第一层

代码如下：

//二叉树第k层节点的个数
int BTreekNum(BTNode* root,int k)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	return BTreekNum(root->left, k - 1) + BTreekNum(root->right, k - 1);
}
int main()
{
	BTNode* root = CreatBinaryTree();
	printf("BTreekNum:%d\n", BTreekNum(root,3));
	printf("BTreekNum:%d\n", BTreekNum(root, 2));
	return 0;
}

运行结果：

递归过程如下：

通过以上计算，相信我们对二叉树的遍历有了更深的理解，同时也加深了对递归的理解，其实当我们熟练运用递归之后，递归问题都可以分两步解决：1. 找出子问题  2. 递归条件。

 

以上就是今天学习的所有内容了，未完待续。。。

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