诺顿定理（Norton’s Theorem）

本文是我们上一篇有关戴维南定理的文章的延续。 在上一篇文章中，我们已经看到任何线性电路都可以简化为由理想电压源与电阻串联组成的基本电路。

另一个非常相似的模型被称为诺顿定理，它是由美国工程师爱德华·诺顿于 1926 年建立的，距离戴维南定理第一个版本已经过去了 70 多年。

诺顿定理确认任何线性电路都等效于与等效电阻并联的理想电流源。

首先，我们回顾一下这句话的粗体术语，以便理解该定理适用的适当框架。 在第二部分中，我们提出了一种逐步确定诺顿等效电路模型的方法。 第三节将提出不同的实际例子来说明该方法。

最后，在结束本教程之前，我们将在诺顿模型和戴维宁模型之间建立联系。

1、概述与定义

线性电路 (LEC) 是诺顿定理的框架，它们代表了一种特殊类型的电路，其中唯一的组件是理想源和电阻器。

理想电压（或电流）源提供恒定的电压（或电流）值，而与电路中流动的电流（或电压）无关。 它们的表示和行为如下图1 所示：

图1：理想源的表示和特征

等效电阻器$R_{eq}$表示一组互连电阻器的关联。 将电阻器关联在一起的规则如下图 2 所示：

图2：串联和并联电阻器组合

现在框架和定义已经清楚了，我们用下面的图3来说明诺顿定理：

图3：诺顿定理变换图解

在线性电路上使用诺顿定理可得到一个称为诺顿模型的简单电路，该电路由与电阻并联的理想电流源组成。 等效电流源和电阻器用下标 $N$ 标记，作为定理名称的参考。

下一节抽象地介绍了确定任何线性电路的 Norton 模型时应遵循的分步方法。

2、诺顿模型确定

诺顿电流$I_N$代表当负载被导线替代时线性电路端点上的电流，也称为短路电流。

事实上，诺顿电阻 $R_N$ 等于戴维宁电阻 $R_{Th}$，它们都代表当所有线性电路源都停用时线性电路端点处的电阻：电压源被缩短，电流源被打开。

我们建议遵循以下步骤来确定任何线性电路的诺顿模型：

• 1）用导线替换线性电路端点上的负载
• 2）计算短路电路的电流
• 3）更换所有短路的电压源和开路的电流源
• 4）计算等效电阻
• 5）重新连接负载并借助 $I_N$ 和 $R_N$ 的知识绘制 Norton 模型

下一节重点介绍将此方法应用于实际电路，从最基本的设计到更复杂的架构。

3、一些线性电路的诺顿模型

3.1 单电压源

考虑图 4 中所示的以下电路：

图4：单电压源线性电路

为了确定该电路的诺顿模型，我们去掉负载$Z$并缩短电路的端点：

现在我们可以确定诺顿电流 $I_N$，基尔霍夫电流定律规定 $I_1=I_2+I_N$。 由于IN不跨越任何阻抗，这意味着电阻$R_2$被缩短，因此我们可以肯定$I_2=0$。

因此，诺顿电流等于电压源提供的电流，可以通过应用基尔霍夫电压定律计算：$V_s=R_1{I}_1+R_2{I}_2=R_1{I}_1\Rightarrow I_N=V_s/R_1=10mA$。

为了找到诺顿电阻 $R_N$，我们用电线代替电压源：

在此配置中，$R_1$ 和 $R_2$ 并联，因此等效电阻由下式给出：$R_N=(R_1\times R_2)/(R_1+R_2)=666\Omega$。

现在我们可以给出图 4 所示电路的 Norton 模型：

图5：单电压源线性电路的Norton模型

3.2 单电流源

我们考虑一个与上一小节类似的例子，用电流源替换电压源：

图6：单电流源线性电路

我们首先移除负载并缩短线性电路的端点。 我们将$I_2$标记为电阻器 $R_2$ 上的电流，$I_1=I_N$ 标记为电阻器 $R_1$ 上的电流。 我们只需应用分流器公式即可找到诺顿电流：$I_N=(R_2/(R_1+R_2)\times I_S=0.7A$。

我们用开路代替理想电流源来找到诺顿电阻：

等效电阻简单地由串联关系 $R_N=R_1+R_2=300\Omega$ 给出。

图 6 所示的线性电路诺顿模型最终由以下电路给出：

图8：单电流源线性电路的Norton模型

3.3 多电流/电压源

对于最后一个示例，我们通过在同一电路中包含电流源和电压源以及更多电阻器来增加复杂性。 我们考虑以下线性电路，我们在之前有关戴维宁模型的文章中已经讨论过：

我们再次进行类似的操作，用电线替换负载$Z$，以找到诺顿电流。 通过应用基尔霍夫电流定律，我们得到 $I=i_1+i_2+i_3+I_N$。 此外，通过将基尔霍夫电压定律应用于电路的每个环路，我们得到：

• $i_1=i_2+V_1/R$
• $i_1=i_3-V_2/R$
• $i_1=I_N$

重新排列这些方程，将 IN 表示为每行$i_1$、$i_2$ 和$i_3$ 的函数后，我们最终可以分离诺顿电流并找到：$I_N=(V_1-V_2)/4R+(I/4)$。

我们已经在戴维南定理文章中证明了 $R_{Th}=4R/3$，并且由于$R_N=R_{Th}$，诺顿电阻因此是已知的。

下面的图 9 给出了这个复杂电路的 Norton 模型：

图9：诺顿的多源线性电路模型
## 4、戴维南模型和诺顿模型之间的联系

关于本文和 戴维南定理的文章中处理的多源示例，有一些非常有趣的事情需要注意。 事实上，如果我们进行乘法 $U=I_N\times R_N$，我们会发现 $U=(R_I+V_1-V_2)/3$，恰好该值等于戴维南等效电压：$I_N\times R_N=V_{Th}$。

因此，根据诺顿参数的知识，我们可以找到同一电路的戴维宁参数：$R_{Th}=R_N$ 和 $V_{Th}=R_N\times I_N$。 反过来，戴维宁参数的知识可以转换为诺顿参数：$R_N=R_{Th}$ 和 $IN=V_{Th}/R_{Th}$。

戴维南模型与诺顿模型之间的转换或相反仅依赖于一个操作，我们在图 10 中说明了这种转换：

图10：戴维宁模型和诺顿模型之间的转换过程

5、总结

• 本文围绕着一句话构建，即诺顿定理：“任何线性电路都等效于与等效电阻并联的理想电流源”。
• 我们首先提出了应用该定理的框架以及一些关键概念的定义。 我们已经看到，线性电路 (LEC) 由理想源和电阻器的互连组成。 第一部分很好地定义了理想源以及等效电阻概念。
• 第二部分是一个简短的部分，提出了确定任何 LEC 的诺顿模型时应遵循的分步方法。 第三部分用实际例子说明了该方法，提出了简单的单源电路，最后提出了更复杂的架构。
• 总之，我们通过说明如何将一种模型转换为另一种模型，在诺顿和戴维宁的等效电路之间建立了联系。