1143.最长公共子序列
思路
本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。
继续动规五部曲分析如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
有同学会问：为什么要定义长度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为长度为[0, i]的字符串text1不香么？
这样定义是为了后面代码实现方便，如果非要定义为长度为[0, i]的字符串text1也可以，卡哥在 动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)中的「拓展」里 详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第一行和第一列的初始化逻辑。
- 确定递推公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
代码如下：
if (text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] =Math.max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
- dp数组如何初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。
代码：
int[][] dp = new int[text1.length()+1][text2.length()+1];- 确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：
那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。
- 举例推导dp数组
以输入：text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例，dp状态如图：
最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果
以上分析完毕，C++代码如下：
class Solution {
public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
int[][] dp = new int[text1.length()+1][text2.length()+1];
//Arrays.fill(dp,1);
int result = 0;
for (int i = 1; i <= text1.length(); i++) {
for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {
if (text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else{
dp[i][j] =Math.max(dp[i][j-1],dp[i-1][j]);
}
result = Math.max(result,dp[i][j]);
}
}
return result;
}
}- 时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的长度
- 空间复杂度: O(n * m)
1035.不相交的线
思路
相信不少录友看到这道题目都没啥思路，来逐步分析一下。
绘制一些连接两个数字 A[i] 和 B[j] 的直线，只要 A[i] == B[j]，且直线不能相交！
直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。
拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：
其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）
这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列 (opens new window)就是一样一样的了。
一样到什么程度呢？ 把字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接copy过来就行了。
其实本题就是求最长公共子序列的长度，介于我们刚刚讲过动态规划：1143.最长公共子序列 (opens new window)，所以本题我就不再做动规五部曲分析了。
如果大家有点遗忘了最长公共子序列，就再看一下这篇：动态规划：1143.最长公共子序列(opens new window)
本题代码如下：
class Solution {
public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];
/**
本题其实核心含义就是找相同的子序列
*/
for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
if (nums1[i-1] == nums2[j-1]){
dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;
}else {
dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
}
}
}
return dp[nums1.length][nums2.length];
}
}- 时间复杂度: O(n * m)
- 空间复杂度: O(n * m)
53. 最大子序和
思路
这道题之前我们在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，贪心算法：最大子序和 (opens new window)。
这次我们用动态规划的思路再来分析一次。
动规五部曲如下：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。
- 确定递推公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
- dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
- nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);
- dp数组如何初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。
- 确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。
- 举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：
注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。
在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。
那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。
所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。
以上动规五部曲分析完毕，完整代码如下：
class Solution {
public int maxSubArray(int[] nums) {
int[] dp = new int[nums.length];
dp[0] = nums[0];
int result = dp[0];
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
dp[i] = Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);// 状态转移公式
result = Math.max(result,dp[i]);// result 保存dp[i]的最大值
}
return result;
}
}- 时间复杂度：O(n)
- 空间复杂度：O(n)
