九种常用二次曲面的构造过程
- 1.九种常用二次曲面的构造过程
- 1.1 椭圆锥面
- 1.2 椭球面
- 1.3 单叶双曲面
- 1.4 双叶双曲面
- 1.5 椭圆抛物面
- 1.6 双曲抛物面（马鞍面）
- 1.7 椭圆柱面
- 1.8 双曲柱面
- 1.9 抛物柱面
1.九种常用二次曲面的构造过程
声明：部分截图来自《Thomas Calculus》、构造过程参考自李艳芳考研数学
1.1 椭圆锥面
在
x
O
z
xOz
xOz 平面上的直线
x
=
a
z
x=az
x=az
绕
z
z
z轴旋转得到圆锥面
x
2
+
y
2
a
2
=
z
2
\frac{x^2+y^2}{a^2}=z^2
a2x2+y2=z2
再将此旋转曲面沿
y
y
y轴方向伸缩
b
a
\frac{b}{a}
ab倍，得到椭圆锥面
椭圆锥面标准方程为：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
z
2
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2
a2x2+b2y2=z2
1.2 椭球面
将
x
O
z
xOz
xOz平面上的椭圆
x
2
a
2
+
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+c2z2=1
绕
z
z
z轴旋转得到旋转椭球面
x
2
+
y
2
a
2
+
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2+y^2}{a^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+y2+c2z2=1
再将此旋转曲面沿着
y
y
y轴方向伸缩
b
a
\frac{b}{a}
ab倍，得到椭球面
椭球面方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+b2y2+c2z2=1
1.3 单叶双曲面
将
x
O
z
xOz
xOz平面上的双曲线
x
2
a
2
−
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2−c2z2=1
绕
z
z
z轴旋转得到旋转单叶双曲面
x
2
+
y
2
a
2
−
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2+y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+y2−c2z2=1
再将此旋转曲面沿着
y
y
y轴方向伸缩
b
a
\frac{b}{a}
ab倍，得到单叶双曲面
单叶双曲面方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2+b2y2−c2z2=1
1.4 双叶双曲面
将
x
O
z
xOz
xOz平面上的双曲线
x
2
a
2
−
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2−c2z2=1
绕
x
x
x轴旋转得到旋转双叶双曲面
x
2
a
2
−
y
2
+
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{c^2}=1
a2x2−c2y2+z2=1
再将此旋转曲面沿着
y
y
y轴方向伸缩
b
a
\frac{b}{a}
ab倍，得到双叶双曲面
双叶双曲面方程
x
2
a
2
−
y
2
b
2
−
z
2
c
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
a2x2−b2y2−c2z2=1
1.5 椭圆抛物面
将
x
O
z
xOz
xOz平面上的抛物线
x
2
a
2
=
z
\frac{x^2}{a^2}=z
a2x2=z
绕
z
z
z轴旋转得到旋转抛物面
x
2
+
y
2
a
2
=
z
\frac{x^2+y^2}{a^2}=z
a2x2+y2=z
再将此旋转曲面沿着
y
y
y轴方向伸缩
b
a
\frac{b}{a}
ab倍，得到椭圆抛物面
椭圆抛物面方程
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
z
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z
a2x2+b2y2=z
1.6 双曲抛物面（马鞍面）
绿色抛物线沿着蓝色抛物线（或蓝色沿着绿色）移动构成马鞍面
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
z
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z
a2x2−b2y2=z
若用平面
x
=
t
x=t
x=t 来截取双曲抛物面，所得截痕为平面
x
=
t
x=t
x=t 上的抛物线
y
2
b
2
=
−
z
+
t
2
a
2
\frac{y^2}{b^2}=-z+\frac{t^2}{a^2}
b2y2=−z+a2t2
若用平面
y
=
t
y=t
y=t 来截取双曲抛物面，所得截痕为平面
y
=
t
y=t
y=t 上的抛物线
x
2
a
2
=
z
+
t
2
b
2
\frac{x^2}{a^2}=z+\frac{t^2}{b^2}
a2x2=z+b2t2
1.7 椭圆柱面
椭圆上下平移得到
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2+b2y2=1
1.8 双曲柱面
双曲线上下平移得到
x
2
a
2
−
y
2
b
2
=
1
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
a2x2−b2y2=1
1.9 抛物柱面
抛物线上下平移得到
y
2
=
a
x
y^2=ax
y2=ax
![[Android]_[初级]_[配置gradle的环境变量设置安装位置]](https://img-blog.csdnimg.cn/6ce7e1befbb146138f12b4cf76f5fc00.png)
