代码随想录第四十四天 | 动态规划 完全背包:纯完全背包理论基础(卡码网第52题);应用(注意遍历顺序):组合(518),排列(377)

news2024/10/7 10:15:18

1、动态规划:完全背包理论基础

N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个(也就是可以放入背包多次),求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大

完全背包和01背包问题 唯一不同 的地方就是,每种物品有无限件

leetcode上没有纯完全背包问题,都是需要完全背包的各种应用,需要转化成完全背包问题,这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理

依然举这个例子:
背包最大重量为4
物品为:

重量价值
物品0115
物品1320
物品2430

每件商品都有无限个
问背包能背的物品最大价值是多少

01背包和完全背包 唯一不同 就是体现在 遍历顺序上,所以本文就不去做动规五部曲了,我们直接针对遍历顺序进行分析
首先再回顾一下01背包核心代码

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量,从后往前避免重复
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环从大到小遍历为了保证每个物品仅被添加一次
完全背包的物品是可以添加多次的,所以要从小到大去遍历,即:

// 先遍历物品,再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

完全背包dp状态图如下:
完全背包dp状态图
其实还有一个很重要的问题,为什么遍历物品外层循环遍历背包容量内层循环
01背包二维dp数组两个for遍历的先后循序可以颠倒了,一维dp数组两个for循环先后循序一定是先遍历物品,再遍历背包容量,之所以会有两个循环的固定顺序,是为了内层循环从大到小可以去重

完全背包中,对于一维dp数组来说,其实两个for循环嵌套顺序无所谓的,因为完全背包不需要去重
dp[j]根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了

遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环,状态如图:
遍历物品在外层循环,遍历背包容量在内层循环 的 完全背包dp状态图
遍历背包容量在外层循环,遍历物品在内层循环,状态如图:
遍历背包容量在外层循环,遍历物品在内层循环 的 完全背包dp状态图
先遍历背包再遍历物品,代码如下:

// 先遍历背包,再遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
    cout << endl;
}

使用 卡码网第52题 进行测试
根据思路实现代码:

注意开的动态规划数组大小为v + 1,0-v重量

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

void getMaxValue(int n, int v) {
    vector<int> dp(v + 1, 0);//注意开的动态规划数组大小为v+1,0-v重量
    vector<int> weight(n, 0);
    vector<int> value(n, 0);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    for(int i = 0; i < value.size(); i++) {
        for(int j = weight[i]; j <= v; j++) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[v] << endl;
    return;
}

int main() {
    int n;
    int v;
    while(cin >> n >> v) {
        getMaxValue(n, v);
    }
    return 0;
}

代码随想录实现代码:

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

// 先遍历背包,再遍历物品
void test_CompletePack(vector<int> weight, vector<int> value, int bagWeight) {

    vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);

    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
    int N, V;
    cin >> N >> V;
    vector<int> weight;
    vector<int> value;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        int w;
        int v;
        cin >> w >> v;
        weight.push_back(w);
        value.push_back(v);
    }
    test_CompletePack(weight, value, V);
    return 0;
}

1.2 总结

全文说的都是对于 “纯” 完全背包问题,其for循环的先后顺序可以颠倒
但如果题目稍稍有点变化,就会体现在遍历顺序
如果问装满背包有几种方式的话? 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别

2、完全背包 组合

2.1 leetcode 518:零钱兑换II

第一遍代码:
dp[0] = 1; 需要有这个初值正好 j 就是货币的面额的时候就是1
注意两个循环的顺序物品在外价值在内

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;//需要有这个初值,正好amount就是货币的面额的时候就是1
        //注意两个循环的顺序,物品在外价值在内
        for(int i = 0; i < coins.size(); i++) {
            for(int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] +=  dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

思路
这是一道典型的背包问题,一看到钱币数量不限,就知道这是一个完全背包
但本题和纯完全背包不一样纯完全背包凑成背包最大价值是多少,而本题是要求凑成总金额的物品组合个数

注意题目描述中是凑成总金额的硬币组合数,为什么强调是组合数呢(第一遍代码没考虑到)

例如示例一:
5 = 2 + 2 + 1
5 = 2 + 1 + 2
这是一种组合,都是 2 2 1
如果问的是排列数,那么上面就是两种排列

组合 不强调元素之间的顺序排列 强调元素之间的顺序

回归本题,动规五步曲来分析如下:
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[j]凑成总金额j货币组合数为dp[j]

2、确定递推公式
dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]](考虑coins[i]的情况)相加
所以递推公式:dp[j] += dp[j - coins[i]];

这个递推公式大家应该不陌生了,在讲解01背包题目的时候 leetcode 494:目标和 中就讲解了,求装满背包有几种方法公式都是:dp[j] += dp[j - nums[i]];

3、dp数组如何初始化
首先dp[0]一定要为1,dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话,后面所有推导出来的值都是0了
下标非0的dp[j] 初始化为0,这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]

dp[0]=1说明了一种情况:如果正好选了coins[i]后,也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选,此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法

4、确定遍历顺序
本题中我们是外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额),还是外层for遍历背包(金钱总额),内层for循环遍历物品(钱币)呢

因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少,和凑成总和的元素有没有顺序 没关系,即:有顺序也行,没有顺序也行
本题要求凑成总和的组合数,元素之间明确要求没有顺序

所以纯完全背包是能凑成总和就行,不用管怎么凑的;本题是求凑出来的方案个数,且每个方案个数是为组合数,那么本题,两个for循环的先后顺序可就有说法

我们先来看 外层for循环遍历物品(钱币),内层for遍历背包(金钱总额) 的情况。
代码如下:

for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
    for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

假设:coins[0] = 1,coins[1] = 5

那么就是先把1加入计算,然后再把5加入计算,得到的方法数量**只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}**的情况

原因是只有dp[1]参与了第二次i = 1的时候得到dp[6],因为第二层开始的起点是从coins[i] 开始,意味着当把 coins[1] 5加入计算后,不会再加上dp[1] 的值了(所以不存在{5,1}只有{1,5}(原来存在1,补上个5就成了,统计的其实是1的组合次数)),而是直接利用之前的dp[1] 整出了dp[6]
所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数

如果把两个for交换顺序,代码如下:

for (int j = 0; j <= amount; j++) { // 遍历背包容量
    for (int i = 0; i < coins.size(); i++) { // 遍历物品
        if (j - coins[i] >= 0) dp[j] += dp[j - coins[i]];
    }
}

背包容量的每一个值,都是经过 1 和 5 的计算,包含了 {1, 5} 和 {5, 1} 两种情况

原因是除了dp[1]参与了第二次i = 1的时候得到dp[6]dp[5]也参与了,因为第二层都是遍历所有物品的,意味着当把 coins[1] 5加入计算后,还要再加上dp[5] 的值(所以比之前多加了{5,1}),同时利用之前的dp[1] 和之前的dp[5] 整出了dp[6]
此时dp[j]里算出来的就是排列数

5、举例推导dp数组
输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5] ,dp状态图如下:
举例推导dp数组
代码随想录实现代码与第一遍代码一致
时间复杂度: O(mn),其中 m 是amount,n 是 coins 的长度
空间复杂度: O(m)

2.2 leetcode 518:总结

本题的递推公式,其实我们在 leetcode 494:目标和 中就已经讲过了,而难点在于遍历顺序
求装满背包有几种方案的时候,认清遍历顺序非常关键

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

3、完全背包 排列

3.1 leetcode 377:组合总和 Ⅳ(求的是排列)

第一遍代码:

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i <= target; i++) {
            for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
                if(i - nums[j] >= 0) dp[i] += dp[i - nums[j]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

报错:runtime error: signed integer overflow: 2147483647 + 1 cannot be represented in type 'int'
说明超int限制了,首先检查有数相加的情况,看看有没有超过
if加一条限制,保证相加不超过int的取值范围dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0; i <= target; i++) {
            for(int j = 0; j < nums.size(); j++) {
                if(i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) dp[i] += dp[i - nums[j]];
                //要保证相加不超过int的取值范围
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

代码随想录思路
本题其实是求排列
本题求的是排列总和,而且仅仅是求排列总和的个数,并不是把所有的排列都列出来
如果本题要把排列都列出来的话,只能使用回溯算法爆搜

动规五部曲分析如下:
1、确定dp数组以及下标的含义
dp[i]: 凑成目标正整数为i排列个数为dp[i]

2、确定递推公式
dp[i]考虑nums[j])可以由 dp[i - nums[j]]不考虑nums[j] (理解为什么上节是组合 这节是排列的核心)推导出来,因为只要得到nums[j]排列个数dp[i - nums[j]],就是dp[i]的一部分

在 leetcode 494:目标和 和 leetcode 518:零钱兑换II 中已经讲过了,求装满背包有几种方法递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];,本题也一样

3、dp数组如何初始化
因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故,dp[0]初始化为1,这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础
至于dp[0] = 1 有没有意义,因为题目中说了:给定目标值正整数! 所以dp[0] = 1没有意义的,仅仅是为了推导递推公式

至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢
初始化为0,这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]

4、确定遍历顺序
个数可以不限使用,说明这是一个完全背包
得到的集合是排列,说明需要考虑元素之间的顺序
本题要求的是排列,那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了

如果求组合数就是外层for循环遍历物品,内层for遍历背包
如果求排列数就是外层for遍历背包,内层for循环遍历物品

所以本题遍历顺序最终遍历顺序:target(背包)放在外循环,将nums(物品)放在内循环内循环从前到后遍历

5、举例来推导dp数组
再来用示例中的例子推导一下:
举例来推导dp数组
代码随想录C++代码如下:

class Solution {
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) {
        vector<int> dp(target + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 0; j < nums.size(); j++) { // 遍历物品
                if (i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据,所以需要在if里加上dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]

3.2 leetcode 377:总结

求装满背包有几种方法,递归公式都是一样的,没有什么差别,但关键在于遍历顺序

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1178292.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

详解基于Android的Appium+Python自动化脚本编写

&#x1f4e2;专注于分享软件测试干货内容&#xff0c;欢迎点赞 &#x1f44d; 收藏 ⭐留言 &#x1f4dd; 如有错误敬请指正&#xff01;&#x1f4e2;交流讨论&#xff1a;欢迎加入我们一起学习&#xff01;&#x1f4e2;资源分享&#xff1a;耗时200小时精选的「软件测试」资…

排序算法之-选择

算法原理 在未排序的数列中找出最大&#xff08;或最小&#xff09;的元素&#xff0c;然后将其存入到已排序的数列起始位置&#xff0c;紧接着在剩余的未排序数列中继续查找最大&#xff08;或最小&#xff09;的元素&#xff0c;并将其放入到已排序的数列末尾&#xff0c;依…

数据结构:Map和Set(1)

搜索树 概念 若它的左子树不为空&#xff0c;则左子树上所有节点的值都小于根节点的值 若它的右子树不为空&#xff0c;则右子树上所有节点的值都大于根节点的值 它的左右子树也分别为二叉搜索树 这棵树的中序遍历结果是有序的 接下来我们来模拟一棵二叉搜索树&#xff0c…

串口通信(3)-接收一组固定长度的数据

本文为博主 日月同辉&#xff0c;与我共生&#xff0c;csdn原创首发。希望看完后能对你有所帮助&#xff0c;不足之处请指正&#xff01;一起交流学习&#xff0c;共同进步&#xff01; > 发布人&#xff1a;日月同辉,与我共生_单片机-CSDN博客 > 欢迎你为独创博主日月同…

Godot4实现游戏的多语言版本

要在Godot 4中实现多语言版本的游戏&#xff0c;您需要按照以下几个步骤来设置和管理游戏文本以及可能的其他资源&#xff0c;如图像或声音。以下是根据官方文档和详细教程整理的简明指南&#xff1a; 准备翻译文件&#xff1a; Godot支持使用.csv文件或.po文件进行国际化​​…

C语言习题整理①

一些C语言习题的整理。 目录 一、判断质数 二、判断回文数 三、判断水仙花数 四、输出乘法表 五、输出杨辉三角 一、判断质数 质数是指在大于1的自然数中&#xff0c;除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。质数又称素数。一个大于1的自然数&#xff0c;除了1和它自身…

数据结构与算法C语言版学习笔记(2)-线性表、顺序存储结构的线性表

提示&#xff1a;文章写完后&#xff0c;目录可以自动生成&#xff0c;如何生成可参考右边的帮助文档 文章目录 数据结构部分的知识框架一、线性表的定义和特点1.定义2.特点 二、线性表的实际案例引入1.案例一&#xff1a;多项式的加减乘除2.案例二&#xff1a;当多项式是稀疏多…

AI 女友突然下线,大叔集体「崩溃」;谷歌聊天机器人称谷歌滥用垄断力量丨 RTE 开发者日报 Vol.78

开发者朋友们大家好&#xff1a; 这里是 「RTE 开发者日报」 &#xff0c;每天和大家一起看新闻、聊八卦。我们的社区编辑团队会整理分享 RTE &#xff08;Real Time Engagement&#xff09; 领域内「有话题的 新闻 」、「有态度的 观点 」、「有意思的 数据 」、「有思考的 文…

微服务项目,请求从发出到后端处理器的历程

点击登录按钮,发出 http://localhost:8803/service_6001/admin/login/in请求,这是一个由nginx配置的前端项目 查看配置文件,该条请求会被映射形成对http://localhost:51603/admin/login/in的post请求 upstream heima-admin-gateway {server localhost:51603; } server {liste…

笔记50:正则表达式入门宝典

引自&#xff1a;正则表达式是什么? - 知乎 中“龙吟九野”所写的一个回答&#xff0c;个人感觉看完之后如同醍醐灌顶&#xff0c;查了很多资料都没有这篇文章写的基础和通透&#xff0c;感觉是正则表达式扫盲好文&#xff0c;所以搬运一下&#xff0c;侵权删&#xff0c;感谢…

吃透BGP,永远绕不开这些基础概述,看完再也不怕BGP了!

你们好&#xff0c;我的网工朋友。 总有人在私信里抱怨&#xff0c;BGP实在是太难了&#xff01; 一是这玩意儿本来就很复杂&#xff0c;需要处理大量的路由信息和复杂的算法&#xff1b;再一个是需要你有一定的实战经验才能深入理解运作。 虽然BGP确实有一定难度&#xff0c…

简简单单入门Makefile

笔记来源&#xff1a;于仕琪教授&#xff1a;Makefile 20分钟入门&#xff0c;简简单单&#xff0c;展示如何使用Makefile管理和编译C代码 操作环境 MacosVscode 前提准备 新建文件夹 mkdir learn_makefile新建三个cpp文件和一个头文件 // mian.cpp #include <iostrea…

fio数据整理之二

fio数据简单抓取 上文我们完成了一些fio output数据的简单抓取&#xff0c;本文将针对抓取的数据做进一步的处理&#xff0c;输出到表格之中&#xff0c;方便我们查看&#xff0c;统计结果。 本文先使用最简单的方法创建csv档案 我们现有个基本认知&#xff0c;在csv档案中&am…

通过you-get命令行工具下载B站等常见网站高清视频

参考&#xff1a; you-get&#xff1a;https://github.com/soimort/you-get EditThisCookie 源码&#xff1a;https://github.com/ETCExtensions/Edit-This-Cookie EditThisCookie 官网&#xff1a;https://www.editthiscookie.com/ you-get 是一个非常好用的命令行版视频下载工…

[wp]NewStarCTF 2023 WEEK5|WEB

前言:比赛是结束了&#xff0c;但我的学习还未结束&#xff0c;看看自己能复习几道题吧&#xff0c;第四周实在太难 Final 考点&#xff1a; ThinkPHP 5.0.23 RCE一句话木马上传SUID提权&#xff08;find&#xff09; 解题: 首先页面就给了ThinkPHP V5&#xff0c; 那无非考…

java制作游戏,如何使用libgdx,入门级别教学

第一步&#xff0c;进入libgdx的官网。点击get started 进入这个页面&#xff0c;点击setup a project 进入这个页面直接点击&#xff0c;Generate a project. 点击下载&#xff0c;下载创建工具 它会让你下载一个jar包&#xff0c;有java环境的人可以双击直接打开。 把android…

Linux学习之vim跳转到特定行数

参考的博客&#xff1a;《Vim跳到最后一行的方法》 《oeasy教您玩转vim - 14 - # 行头行尾》 《Linux&#xff1a;vim 中跳到首行和最后一行》 想要跳到特定行的话&#xff0c;可以在命令模式和正常模式进行跳转。要是对于vim的四种模式不太熟的话&#xff0c;可以到博客《Linu…

Arrays.asList() 和 List.of() 的列表之争

1. 概述 有时在Java中&#xff0c;为了方便&#xff0c;我们需要创建一个小列表或将数组转换为列表。Java 为此提供了一些辅助方法。 在本文中&#xff0c;我们将比较初始化小型临时数组的两种主要方法&#xff1a;List.of()和 Array.asList()。 2. Arrays.asList() Java 自…

跨境电商商城源码,助力商家全球布局(多语言切换\多货币转换\多商户入驻)

今天&#xff0c;我们要给大家介绍一款强大且多元化的跨境电商解决方案——WoShop跨境电商源码!这款源码拥有许多令人惊叹的功能&#xff0c;其中最引人注目的就是支持多语言切换、多货币转换以及多商户入驻! 设想一下&#xff0c;你是一个跨境电商的卖家&#xff0c;你的业务遍…

Cannot read properties of undefined (reading ‘prototype‘)

用vue注册的用import ElementUI from "element-ui"是不行的要用 import ElementUI from “element-plus”