目录
一、01背包理论基础
1.二维dp数组01背包
1)确定dp数组以及下标的含义
2)确定递推公式
3)dp数组如何初始化
4)确定遍历顺序
5)举例推导dp数组
2.一维dp数组(滚动数组)
1)确定dp数组的定义
2)一维dp数组的递推公式
3)一维dp数组如何初始化
4)一维dp数组遍历顺序
5)举例推导dp数组
二、(leetcode 416)分割等和子集
一、01背包理论基础
有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大
每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是O(2^n),这里的n表示物品数量。
所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!
在下面的讲解中,举一个例子:
背包最大重量为4。
物品为:
重量 | 价值 | |
---|---|---|
物品0 | 1 | 15 |
物品1 | 3 | 20 |
物品2 | 4 | 30 |
问背包能背的物品最大价值是多少?
以下讲解和图示中出现的数字都是以这个例子为例。
1.二维dp数组01背包
1)确定dp数组以及下标的含义
对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。
这个二维数组的定义看下面这个图:
要时刻记着这个dp数组的含义,下面的一些步骤都围绕这dp数组的含义进行的
2)确定递推公式
那么可以有两个方向推出来dp[i][j],
- 不放物品i:由dp[i - 1][j]推出,即背包容量为j,里面不放物品i的最大价值,此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时,物品i无法放进背包中,所以背包内的价值依然和前面相同。)
- 放物品i:由dp[i - 1][j - weight[i]]推出,dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值,那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] (物品i的价值),就是背包放物品i得到的最大价值
所以递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
3)dp数组如何初始化
关于初始化,一定要和dp数组的定义吻合,否则到递推公式的时候就会越来越乱。
首先从dp[i][j]的定义出发,如果背包容量j为0的话,即dp[i][0],无论是选取哪些物品,背包价值总和一定为0。如图:
在看其他情况
状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i是由i-1推导出来,那么i为0的时候就一定要初始化。
dp[0][j],即:i为0,存放编号0的物品的时候,各个容量的背包所能存放的最大价值。
那么很明显当 j < weight[0]的时候,dp[0][j] 应该是 0,因为背包容量比编号0的物品重量还小。
当j >= weight[0]时,dp[0][j] 应该是value[0],因为背包容量放足够放编号0物品。
代码初始化如下:
for (int j = 0 ; j < weight[0]; j++) { // 当然这一步,如果把dp数组预先初始化为0了,这一步就可以省略,但很多同学应该没有想清楚这一点。
dp[0][j] = 0;
}
// 正序遍历
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
此时dp数组初始化情况如图所示:
dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了,那么其他下标应该初始化多少呢?
其实从递归公式: dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了,那么 其他下标初始为什么数值都可以,因为都会被覆盖。
初始-1,初始-2,初始100,都可以!
但只不过一开始就统一把dp数组统一初始为0,更方便一些。
最后初始化代码如下:
// 初始化 dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
4)确定遍历顺序
在如下图中,可以看出,有两个遍历的维度:物品与背包重量
那么问题来了,先遍历物品还是先遍历背包重量呢?
其实都可以!! 但是先遍历物品更好理解。
先遍历物品,然后遍历背包重量的代码。
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
先遍历背包,再遍历物品,也是可以的!(注意这里使用的二维dp数组)
例如这样:
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
为什么也是可以的呢?
要理解递归的本质和递推的方向。
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。
dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]] 都在dp[i][j]的左上角方向(包括正上方向),那么先遍历物品,再遍历背包的过程如图所示:
再来看看先遍历背包,再遍历物品呢,如图:
大家可以看出,虽然两个for循环遍历的次序不同,但是dp[i][j]所需要的数据就是左上角,根本不影响dp[i][j]公式的推导!
但先遍历物品再遍历背包这个顺序更好理解。
其实背包问题里,两个for循环的先后循序是非常有讲究的,理解遍历顺序其实比理解推导公式难多了。
5)举例推导dp数组
来看一下对应的dp数组的数值,如图:
最终结果就是dp[2][4]。
void test_2_wei_bag_problem1() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagweight = 4;
// 二维数组
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
// 初始化
for (int j = weight[0]; j <= bagweight; j++) {
dp[0][j] = value[0];
}
// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j];
else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[weight.size() - 1][bagweight] << endl;
}
int main() {
test_2_wei_bag_problem1();
}
2.一维dp数组(滚动数组)
对于背包问题其实状态都是可以压缩的
在使用二维数组的时候,递推公式:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);
其实可以发现如果把dp[i - 1]那一层拷贝到dp[i]上,表达式完全可以是:dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
与其把dp[i - 1]这一层拷贝到dp[i]上,不如只用一个一维数组了,只用dp[j](一维数组,也可以理解是一个滚动数组)。
这就是滚动数组的由来,需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层。
dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取,放进容量为j的背包,价值总和最大是多少。
动规五部曲分析如下:
1)确定dp数组的定义
在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。
2)一维dp数组的递推公式
dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值,那么如何推导dp[j]呢?
dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来,dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。
dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。(也就是容量为j的背包,放入物品i了之后的价值即:dp[j])
此时dp[j]有两个选择,一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j],即不放物品i,一个是取dp[j - weight[i]] + value[i],即放物品i,指定是取最大的,毕竟是求最大价值,
所以递归公式为:
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
可以看出相对于二维dp数组的写法,就是把dp[i][j]中i的维度去掉了。
3)一维dp数组如何初始化
dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j],那么dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。
那么dp数组除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?
看一下递归公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了。
这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖了。
那么我假设物品价值都是大于0的,所以dp数组初始化的时候,都初始为0就可以了。
4)一维dp数组遍历顺序
代码如下:
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
和二维dp的写法中,遍历背包的顺序是不一样的!
二维dp遍历的时候,背包容量是从小到大,而一维dp遍历的时候,背包是从大到小。
为什么呢?
倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!
举一个例子:物品0的重量weight[0] = 1,价值value[0] = 15
如果正序遍历
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30
此时dp[2]就已经是30了,意味着物品0,被放入了两次,所以不能正序遍历。
为什么倒序遍历,就可以保证物品只放入一次呢?
倒序就是先算dp[2]
dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 15 (dp数组已经都初始化为0)
dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15
所以从后往前循环,每次取得状态不会和之前取得状态重合,这样每种物品就只取一次了。
那么问题又来了,为什么二维dp数组历的时候不用倒序呢?
因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i - 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!
(如何这里读不懂,大家就要动手试一试了,空想还是不靠谱的,实践出真知!)
再来看看两个嵌套for循环的顺序,代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量,那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?
不可以!
因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经讲了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。
倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖。
所以一维dp数组的背包在遍历顺序上和二维其实是有很大差异的!,这一点一定要注意。
5)举例推导dp数组
一维dp,分别用物品0,物品1,物品2 来遍历背包,最终得到结果如下:
void test_1_wei_bag_problem() {
vector<int> weight = {1, 3, 4};
vector<int> value = {15, 20, 30};
int bagWeight = 4;
// 初始化
vector<int> dp(bagWeight + 1, 0);
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
cout << dp[bagWeight] << endl;
}
int main() {
test_1_wei_bag_problem();
}
二、(leetcode 416)分割等和子集
力扣题目链接
要注意题目描述中商品是不是可以重复放入
即一个商品如果可以重复多次放入是完全背包,而只能放入一次是01背包,写法还是不一样的。
要明确本题中我们要使用的是01背包,因为元素我们只能用一次。
回归主题:首先,本题要求集合里能否出现总和为 sum / 2 的子集。
一一对应一下本题,看看背包问题如何来解决
只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。
- 背包的体积为sum / 2
- 背包要放入的商品(集合里的元素)重量为 元素的数值,价值也为元素的数值
- 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
- 背包中每一个元素是不可重复放入。
以上分析完,就可以套用01背包,来解决这个问题了。
动规五部曲分析如下:
1)确定dp数组以及下标的含义
01背包中,dp[j] 表示: 容量为j的背包,所背的物品价值最大可以为dp[j]。
本题中每一个元素的数值既是重量,也是价值。
套到本题,dp[j]表示 背包总容量(所能装的总重量)是j,放进物品后,背的最大重量为dp[j]。
那么如果背包容量为target, dp[target]就是装满 背包之后的重量,所以 当 dp[target] == target 的时候,背包就装满了。
那还有装不满的时候?
拿输入数组 [1, 5, 11, 5],举例, dp[7] 只能等于 6,因为 只能放进 1 和 5。
而dp[6] 就可以等于6了,放进1 和 5,那么dp[6] == 6,说明背包装满了。
2)确定递推公式
01背包的递推公式为:dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
本题,相当于背包里放入数值,那么物品i的重量是nums[i],其价值也是nums[i]。
所以递推公式:dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
3)dp数组如何初始化
从dp[j]的定义来看,首先dp[0]一定是0。
如果题目给的价值都是正整数那么非0下标都初始化为0就可以了,如果题目给的价值有负数,那么非0下标就要初始化为负无穷。
这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值,而不是被初始值覆盖了。
本题题目中 只包含正整数的非空数组,所以非0下标的元素初始化为0就可以了。
// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
4)确定遍历顺序
如果使用一维dp数组,物品遍历的for循环放在外层,遍历背包的for循环放在内层,且内层for循环倒序遍历!
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
5)举例推导dp数组
dp[j]的数值一定是小于等于j的。
如果dp[j] == j 说明,集合中的子集总和正好可以凑成总和j,理解这一点很重要。
用例1,输入[1,5,11,5] 为例,如图:
最后dp[11] == 11,说明可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums) {
int sum = 0;
// dp[i]中的i表示背包内总和
// 题目中说:每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200
// 总和不会大于20000,背包最大只需要其中一半,所以10001大小就可以了
vector<int> dp(10001, 0);
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
sum += nums[i];
}
// 也可以使用库函数一步求和
// int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);
if (sum % 2 == 1) return false;
int target = sum / 2;
// 开始 01背包
for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
for(int j = target; j >= nums[i]; j--) { // 每一个元素一定是不可重复放入,所以从大到小遍历
dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i]);
}
}
// 集合中的元素正好可以凑成总和target
if (dp[target] == target) return true;
return false;
}
};
- 时间复杂度:O(n^2)
- 空间复杂度:O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数