代码随想录算法训练营第三十八天丨动态规划part01

动态规划理论基础

动态规划刷题大纲

什么是动态规划

动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的，

在关于贪心算法，你该了解这些！ (opens new window)中卡哥举了一个背包问题的例子。

例如：有N件物品和一个最多能背重量为W 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

动态规划中 dp[j] 是由 dp[j-weight[i]] 推导出来的，然后取max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])。

但如果是贪心呢，每次拿物品选一个最大的或者最小的就完事了，和上一个状态没有关系。

所以贪心解决不了动态规划的问题。

不用死扣动规和贪心的理论区别，慢慢的就知道了

动规是由前一个状态推导出来的，而贪心是局部直接选最优的

动态规划的解题步骤

状态转移公式（递推公式）是很重要，但动规不仅仅只有递推公式。

对于动态规划问题，卡哥将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

确定dp数组（dp table）以及下标的含义
确定递推公式
dp数组如何初始化
确定遍历顺序
举例推导dp数组

为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？

因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！

动态规划应该如何debug

找问题的最好方式就是把dp数组打印出来，看看究竟是不是按照自己思路推导的！

做动规的题目，写代码之前一定要把状态转移在dp数组的上具体情况模拟一遍，心中有数，确定最后推出的是想要的结果。

然后再写代码，如果代码没通过就打印dp数组，看看是不是和自己预先推导的哪里不一样。

如果打印出来和自己预先模拟推导是一样的，那么就是自己的递归公式、初始化或者遍历顺序有问题了。

如果和自己预先模拟推导的不一样，那么就是代码实现细节有问题。

这样才是一个完整的思考过程，而不是一旦代码出问题，就毫无头绪的东改改西改改，最后过不了，或者说是稀里糊涂的过了。

这也是卡哥为什么在动规五步曲里强调推导dp数组的重要性。

举个例子哈：在「代码随想录」刷题小分队微信群里，一些录友可能代码通过不了，会把代码抛到讨论群里问：我这里代码都已经和题解一模一样了，为什么通过不了呢？

发出这样的问题之前，其实可以自己先思考这三个问题：

这道题目我举例推导状态转移公式了么？
我打印dp数组的日志了么？
打印出来了dp数组和我想的一样么？

如果这灵魂三问自己都做到了，基本上这道题目也就解决了，或者更清晰的知道自己究竟是哪一点不明白，是状态转移不明白，还是实现代码不知道该怎么写，还是不理解遍历dp数组的顺序。

然后在问问题，目的性就很强了，群里的小伙伴也可以快速知道提问者的疑惑了。

注意这里不是说不让大家问问题哈，而是说问问题之前要有自己的思考，问题要问到点子上！

我们工作之后就会发现，特别是大厂，问问题是一个专业活，是的，问问题也要体现出专业！

如果问同事很不专业的问题，同事们会懒的回答，领导也会认为你缺乏思考能力，这对职场发展是很不利的。

所以大家在刷题的时候，就锻炼自己养成专业提问的好习惯。

今天开始新的征程了，加油！！！

509. 斐波那契数

思路

动态规划

动规五部曲：

这里我们要用一个一维dp数组来保存递归的结果

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]

2、确定递推公式

为什么这是一道非常简单的入门题目呢？

因为题目已经把递推公式直接给我们了：状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];

3、dp数组如何初始化

题目中把如何初始化也直接给我们了，如下：

dp[0] = 0;
dp[1] = 1;

4、确定遍历顺序

从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的

5、举例推导dp数组

按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，我们来推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：

0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

如果代码写出来，发现结果不对，就把dp数组打印出来看看和我们推导的数列是不是一致的。

代码如下：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if(n == 0 || n ==1){
            return n;
        }

        //1.确定dp数组下标含义
        //2.确定递推公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];
        //3.dp数组初始化
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 1;
        //4.确定遍历顺序：从前往后
        for(int i = 2;i <= n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        //5.举例推导dp数组
        return dp[n];
    }
}

70. 爬楼梯

思路

举几个例子，就可以发现其规律。

爬到第一层楼梯有一种方法，爬到二层楼梯有两种方法。

那么第一层楼梯再跨两步就到第三层，第二层楼梯再跨一步就到第三层。

所以到第三层楼梯的状态可以由第二层楼梯和到第一层楼梯状态推导出来，那么就可以想到动态规划了。

我们来分析一下，动规五部曲：

定义一个一维数组来记录不同楼层的状态

1/确定dp数组以及下标的含义

dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法

2/确定递推公式

如何可以推出dp[i]呢？

从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。

首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。

还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么。

那么dp[i]就是 dp[i - 1]与dp[i - 2]之和！

所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。

在推导dp[i]的时候，一定要时刻想着dp[i]的定义，否则容易跑偏。

这体现出确定dp数组以及下标的含义的重要性！

3、dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i]的定义：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法。

那么i为0，dp[i]应该是多少呢，这个可以有很多解释，但基本都是直接奔着答案去解释的。

例如强行安慰自己爬到第0层，也有一种方法，什么都不做也就是一种方法即：dp[0] = 1，相当于直接站在楼顶。

但总有点牵强的成分。

那还这么理解呢：卡哥就认为跑到第0层，方法就是0啊，一步只能走一个台阶或者两个台阶，然而楼层是0，直接站楼顶上了，就是不用方法，dp[0]就应该是0.

其实这么争论下去没有意义，大部分解释说dp[0]应该为1的理由其实是因为dp[0]=1的话在递推的过程中i从2开始遍历本题就能过，然后就往结果上靠去解释dp[0] = 1。

从dp数组定义的角度上来说，dp[0] = 0 也能说得通。

需要注意的是：题目中说了n是一个正整数，题目根本就没说n有为0的情况。

所以本题其实就不应该讨论dp[0]的初始化！

我相信dp[1] = 1，dp[2] = 2，这个初始化大家应该都没有争议的。

所以卡哥的原则是：不考虑dp[0]如何初始化，只初始化dp[1] = 1，dp[2] = 2，然后从i = 3开始递推，这样才符合dp[i]的定义。

4、确定遍历顺序

从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的

5、举例推导dp数组

举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是这样的

70.爬楼梯

如果代码出问题了，就把dp table 打印出来，看看究竟是不是和自己推导的一样。

此时发现了，这不就是斐波那契数列么！

唯一的区别是，没有讨论dp[0]应该是什么，因为dp[0]在本题没有意义！

代码如下：

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if(n == 1 || n==2){
            return n;
        }
        int[] dp = new int[n+1];
        dp[1]=1;
        dp[2]=2;

        for(int i =3;i<=n;i++){
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2];
        }
        return dp[n];
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

思路

修改之后的题意就比较明确了，题目中说 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯” 也就是相当于跳到下标 0 或者下标 1 是不花费体力的，从下标 0 下标1 开始跳就要花费体力了。

1、确定dp数组以及下标的含义

使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。

对于dp数组的定义，一定要清晰！

2、确定递推公式

可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。

dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。

那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3、dp数组如何初始化

看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

那么 dp[0] 应该是多少呢？根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。

这里就要说明本题力扣为什么改题意，而且修改题意之后就清晰很多的原因了。

新题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说到达第 0 个台阶是不花费的，但从第0 个台阶往上跳的话，需要花费 cost[0]。

所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4、确定遍历顺序

最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？

本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。

因为是模拟台阶，而且 dp[i]由dp[i-1]dp[i-2] 推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？

这些都与遍历顺序息息相关。当然背包问题后续「代码随想录」都会重点讲解的！

5、举例推导dp数组

拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

如果代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。

代码如下：

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int[] dp = new int[cost.length+1];
        dp[0] = 0;
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.length; i++) {
            dp[i] = Math.min(dp[i-1] +cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
        }
        return dp[cost.length];
    }
}