【C++进阶】map和set——中篇（AVL树的学习）

news2024/11/18 11:32:26

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🍁 🍃 🍂 🌿

目录

  • 🍁 前言
  • 🍁 1. AVL树
    • 🍂 1.1 AVL树的概念
    • 🍂 1.2 AVL树节点的定义
    • 🍂 1.3 AVL树的插入
    • 🍂 1.4 AVL树的旋转
    • 🍂 1.5 AVL树的验证
    • 🍂 1.6 AVL树的性能
    • 🍂 1.7 AVL树的实现

🍁 前言

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个
共同点是：其底层都是按照二叉搜索树来实现的，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

🍁 1. AVL树

🍂 1.1 AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

  • 一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

在这里插入图片描述

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在
O ( l o g 2 n ) O(log_2 n) O(log2​n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log_2 n log2​n)。

🍂 1.2 AVL树节点的定义

template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode(const T& data)
		: _pLeft(nullptr)
		, _pRight(nullptr)
		, _pParent(nullptr)
		, _data(data), _bf(0)
	{}
	
	AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
	AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
	T _data;
	int _bf; // 该节点的平衡因子
};

🍂 1.3 AVL树的插入

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么
AVL树的插入过程可以分为两步：

  1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
  2. 调整节点的平衡因子

在这里插入图片描述
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：
-1，0, 1, 分以下两种情况：

  1. 如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
  2. 如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

  1. 如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整
    成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
  2. 如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更
    新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
  3. 如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进
    行旋转处理
pair<Node*,bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点
		{
			_root = new Node(kv);
			return make_pair(_root, true);
		}
 
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		//先利用while循环去找cur的空位
		while (cur)
		{
			if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return make_pair(cur, false);
			}
		}
		//将cur插入到相应位置
		cur = new Node(kv);
		Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回
		if (kv.first > parent->_kv.first)
		{
			parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边
			cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
			cur->_parent = parent;
		}
 
		//进行旋转调整
		//while(cur!=_root)
		while (parent)
		{
			//1.进入循环先对平衡因子进行调整
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}
 
			//分三种情况向上走
			if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整
			{
				//为什么不需调整
				//因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点
				break;
			}
			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
			{
				//平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点
				cur = parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况
				{
					if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况
					{
						RotateR(parent);
					}
					else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋
					{
						RotateLR(parent);
					}
				}
				else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况
				{
					if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况
					{
						RotateL(parent);
					}
					else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋
					{
						RotateRL(parent);
					}
				}
				//思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢
 
				break;//调整完成后break退出循环
				//这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}
		return make_pair(newnode,true);
	}

🍂 1.4 AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

  • 新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

在这里插入图片描述

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

  1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
  2. 60可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)//右单旋
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
 
		parent->_left = subLR;
		if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用
		{
			subLR->_parent = parent;
		}
		subL->_right = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来
		parent->_parent = subL;
		
		//if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的
		if(parent==_root)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			//这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subL;
			else
				parentParent->_right = subL;
 
			subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上
		}
 
		parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0
	}
  • 新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

在这里插入图片描述

和右单旋近似，可以参考代码

void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
 
		//先把subR的左孩子赋值给parent的右节点
		parent->_right = subRL;
		if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况
		{
			subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针
		}
 
		//然后subR的左节点链接上parent
		subR->_left = parent;
		Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录
		parent->_parent = subR;
		//if (parentParent == nullptr)
		if (parent == _root)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (parentParent->_left == parent)
				parentParent->_left = subR;
			else
				parentParent->_right = subR;
 
			subR->_parent = parentParent;
		}
 
		parent->_bf = subR->_bf = 0;
	}
  • 新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

在这里插入图片描述
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再
考虑平衡因子的更新。

请添加图片描述

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点
		RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点
 
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
  • 新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

在这里插入图片描述

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变
		//subRL的平衡因子是双旋的关键节点
 
		RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点
		RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点
 
		if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
			subRL->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			subRL->_bf = 0;
		}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

总结：
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

  1. pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR
    – 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋
    – 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
  2. pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL
    – 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋
    – 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

🍂 1.5 AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

  1. 验证其为二叉搜索树
    – 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
  2. 验证其为平衡树
    – 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)
    – 节点的平衡因子是否计算正确
void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点
	{
		if (root == nullptr)
			return;
		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
		_Inorder(root->_right);
	}
	void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
 
	//验证是否为平衡二叉树
	//1.左子树高度与右子树高度差必须小于1
	int _Height(Node* root)//求树的高度函数
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
 
		int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解
		int rightHeight = _Height(root->_right);
 
		return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
	}
	bool _IsBalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return true;
		}
 
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
 
		// 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确
		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
		{
			cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
			return false;
		}
 
		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
			&& _IsBalance(root->_left)
			&& _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查
	}
	bool IsAVLTree()
	{
		return _IsBalance(_root);
	}

🍂 1.6 AVL树的性能

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log_2 (N) log2​(N)。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

🍂 1.7 AVL树的实现

AVLTree.hpp

//
//  AVLTree.hpp
//  AVLtree
//
//  Created by 卜绎皓 on 2022/11/16.
//

#pragma once
#include<iostream>
#include<assert.h>
#include<string>
using namespace std;
 
 
template<class K,class V>
struct AVLTreeNode
{
    AVLTreeNode<K, V>* _left;
    AVLTreeNode<K, V>* _right;
    AVLTreeNode<K, V>* _parent;//定义成三叉链的形式
    int _bf;//balance factor平衡因子
    pair<K, V> _kv;//用pair同时存K和V两个数据
 
    AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)//节点构造函数
        :_left(nullptr)
        ,_right(nullptr)
        ,_parent(nullptr)
        ,_bf(0)//平衡因子初始给0
        ,_kv(kv)
    {}
};
 
template<class K,class V>
class AVLTree
{
    typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
    AVLTree()
        :_root(nullptr)
    {}
    //拷贝构造和赋值拷贝也需要自己实现
    AVLTree(const AVLTree<K,V>& kv)
    {
        _root = Copy(kv._root);
    }
    AVLTree<K, V>& operator=(AVLTree<K,V> kv)
    {
        swap(_root, kv._root);
        return *this;
    }
    ~AVLTree()
    {
        Destroy(_root);
        _root = nullptr;
    }
    Node* Copy(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
            return nullptr;
        Node* newroot = new Node(root->_key);//建立新节点
        newroot->_left = Copy(root->_left);//新节点的左右节点再去转换成子问题
        newroot->_right = Copy(root->_right);
        return newroot;//最后返回新节点
    }
    void Destroy(Node* root)
    {
        //利用后序遍历去释放节点
        if (root == nullptr)
        {
            return;
        }
        Destroy(root->_left);
        Destroy(root->_right);
        delete root;
    }
    V& operator[](const K& key)//重载operator[]
    {
        //operator[]的原则是:
        //如果插入成功返回插入都value的引用
        //如果插入失败则返回V类型默认缺省值
        pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));//V采用传匿名对象的方式
        return ret.first->_kv.second;
    }
    Node* Find(const pair<K, V>& kv)//查找函数
    {
        Node* cur = _root;
        while (cur)
        {
            if (kv.first > cur->_kv.first)
            {
                cur = cur->_right;
            }
            else if (kv.first < cur->_kv.first)
            {
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return cur;
            }
        }
        return nullptr;
    }
    void RotateR(Node* parent)//右单旋
    {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
 
        parent->_left = subLR;
        if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用
        {
            subLR->_parent = parent;
        }
        subL->_right = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来
        parent->_parent = subL;
        
        //if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的
        if(parent==_root)
        {
            _root = subL;
            _root->_parent = nullptr;
        }
        else
        {
            //这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子
            if (parentParent->_left == parent)
                parentParent->_left = subL;
            else
                parentParent->_right = subL;
 
            subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上
        }
 
        parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0
    }
    void RotateL(Node* parent)
    {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
 
        //先把subR的左孩子赋值给parent的右节点
        parent->_right = subRL;
        if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况
        {
            subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针
        }
 
        //然后subR的左节点链接上parent
        subR->_left = parent;
        Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录
        parent->_parent = subR;
        //if (parentParent == nullptr)
        if (parent == _root)
        {
            _root = subR;
            _root->_parent = nullptr;
        }
        else
        {
            if (parentParent->_left == parent)
                parentParent->_left = subR;
            else
                parentParent->_right = subR;
 
            subR->_parent = parentParent;
        }
 
        parent->_bf = subR->_bf = 0;
    }
    void RotateRL(Node* parent)
    {
        Node* subR = parent->_right;
        Node* subRL = subR->_left;
        int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变
        //subRL的平衡因子是双旋的关键节点
 
        RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点
        RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点
 
        if (bf == 0)
        {
            parent->_bf = 0;
            subR->_bf = 0;
            subRL->_bf = 0;
        }
        else if (bf == 1)
        {
            parent->_bf = -1;
            subR->_bf = 0;
            subRL->_bf = 0;
        }
        else if (bf == -1)
        {
            parent->_bf = 0;
            subR->_bf = 1;
            subRL->_bf = 0;
        }//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
        else
        {
            assert(false);
        }
    }
    void RotateLR(Node* parent)
    {
        Node* subL = parent->_left;
        Node* subLR = subL->_right;
        int bf = subLR->_bf;
        RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点
        RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点
 
        if (bf == 0)
        {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = 0;
            subLR->_bf = 0;
        }
        else if (bf == 1)
        {
            parent->_bf = 0;
            subL->_bf = -1;
            subLR->_bf = 0;
        }
        else if (bf == -1)
        {
            parent->_bf = 1;
            subL->_bf = 0;
            subLR->_bf = 0;
        }//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
        else
        {
            assert(false);
        }
    }
    pair<Node*,bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
    {
        if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点
        {
            _root = new Node(kv);
            return make_pair(_root, true);
        }
 
        Node* cur = _root;
        Node* parent = nullptr;
        //先利用while循环去找cur的空位
        while (cur)
        {
            if (kv.first > cur->_kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_right;
            }
            else if (kv.first < cur->_kv.first)
            {
                parent = cur;
                cur = cur->_left;
            }
            else
            {
                return make_pair(cur, false);
            }
        }
        //将cur插入到相应位置
        cur = new Node(kv);
        Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回
        if (kv.first > parent->_kv.first)
        {
            parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边
            cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点
        }
        else
        {
            parent->_left = cur;
            cur->_parent = parent;
        }
 
        //进行旋转调整
        //while(cur!=_root)
        while (parent)
        {
            //1.进入循环先对平衡因子进行调整
            if (cur == parent->_right)
            {
                parent->_bf++;
            }
            else
            {
                parent->_bf--;
            }
 
            //分三种情况向上走
            if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整
            {
                //为什么不需调整
                //因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点
                break;
            }
            else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
            {
                //平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点
                cur = parent;
                parent = parent->_parent;
            }
            else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
            {
                if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况
                {
                    if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况
                    {
                        RotateR(parent);
                    }
                    else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋
                    {
                        RotateLR(parent);
                    }
                }
                else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况
                {
                    if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况
                    {
                        RotateL(parent);
                    }
                    else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋
                    {
                        RotateRL(parent);
                    }
                }
                //思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢
 
                break;//调整完成后break退出循环
                //这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了
            }
            else
            {
                assert(false);
            }
        }
        return make_pair(newnode,true);
    }
    void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点
    {
        if (root == nullptr)
            return;
        _Inorder(root->_left);
        cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
        _Inorder(root->_right);
    }
    void Inorder()
    {
        _Inorder(_root);
        cout << endl;
    }
 
    //验证是否为平衡二叉树
    //1.左子树高度与右子树高度差必须小于1
    int _Height(Node* root)//求树的高度函数
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return 0;
        }
 
        int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解
        int rightHeight = _Height(root->_right);
 
        return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
    }
    bool _IsBalance(Node* root)
    {
        if (root == nullptr)
        {
            return true;
        }
 
        int leftHeight = _Height(root->_left);
        int rightHeight = _Height(root->_right);
 
        // 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确
        if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
        {
            cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
            return false;
        }
 
        return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
            && _IsBalance(root->_left)
            && _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查
    }
    bool IsAVLTree()
    {
        return _IsBalance(_root);
    }
private:
    Node* _root;
};

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