阶乘与双阶乘的相关性质

news2024/9/28 23:25:35

阶乘与双阶乘的相关性质

双阶乘

基本性质

$(-1)!!=1$

积分恒等式

$\int_0^{\pi/2}sin^{2n}xdx=\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}$

$\int_0^{\pi/2}sin^{2n+1}xdx=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}$

极限近似

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+1)!!}{(2n)!!}=2\sqrt{\frac{n}{\pi}}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}=\sqrt{n\pi}$

级数展开

$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}x^{2n}$

$arcsin(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$

阶乘

斯特林(Stirling)公式

$\lim_{n\rightarrow\infty}n!\approx \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n$

gamma函数

$\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

$\Gamma(-\frac{1}{2})=-2\sqrt{\pi}$

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双阶乘

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