前言
- 本文创作的起因是，经历了离散数学的学习，深感学习离散之艰辛。所以产生了写一些内容帮助大家期末复习。
- 虽然在csdn发表本文，有些不太合适，但是还是相信本文的质量和内容，可以给正在学习离散数学的大学生提供一些帮助。
- 由于作者水平有限，不足之处，还请海涵。
文章目录
- 前言
- 命题逻辑
- 一 命题及真值的判定
- 命题联结词
- 练习题
- 合式公式（合适公式）
- 综合练习题
- 公式的分类和等价
- 基本等价公式：设A、B、C为任意公式【重点】
命题逻辑
一 命题及真值的判定
- 命题的定义
- 定义：一个具有真假意义的陈述句被称为一个命题。
- 解题技巧
- 所有非陈述句都不是命题（感叹句，疑问句，祈使句，命令句）
- 有歧义的句子也不是命题，如，悖论
- 命题不需要要知道真值是什么，而是知道具有唯一真值
- 带有 x , y , z x,y,z x,y,z等变量的句子，则需要认真区分
- 命题的真值
- 真命题: 真值为真的命题
- 假命题: 真值为假的命题
- 原子命题&符合命题：
- 一个命题不能再分解为更简单的命题，这个命题称为原子命题 如：2是素数
- 复合命题 + 命题可进一步分解
如：王红学过英语或法语：（王红学过英语）
⋁
（王红学过法语）
如：王红学过英语或法语：（王红学过英语）\bigvee（王红学过法语）
如：王红学过英语或法语：（王红学过英语）⋁（王红学过法语）
命题联结词
- 命题联结词
- 否定 ¬ \neg ¬：表示否定
- 合取 ⋀ \bigwedge ⋀:两个事件同时成立
- 析取 ⋁ \bigvee ⋁ ：表示两件事中至少有一个成立
- 蕴涵 → \rightarrow →：表示两舰事之间有条件因果关系
- 等价 ↔ \leftrightarrow ↔：表示两件事是等价的
| P Q | P ⋀ Q P\bigwedge Q P⋀Q | P ⋁ Q P\bigvee Q P⋁Q | P ⟶ Q P\longrightarrow Q P⟶Q | P ⟷ Q P\longleftrightarrow Q P⟷Q |
|---|---|---|---|---|
| 0 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
-
关于 ⋀ \bigwedge ⋀的常考关键词
- 虽然……但是……
- 既……又……
- 不仅……而且……
- ……并且……
- ……和……
- ……与……
-
关于 ⋁ \bigvee ⋁的两类情况：排斥或（不可兼容或）、相容或（可兼容或）
- 排斥或：p、q不可同时为真 ( p ⋀ ¬ q ) ⋀ ( ¬ p ⋀ q ) (p \bigwedge \neg q) \bigwedge (\neg p \bigwedge q) (p⋀¬q)⋀(¬p⋀q)
- 相容或：p、q不可同时为真 p ⋁ q p \bigvee q p⋁q
- 选小王或小李中的一个人当班长
- p：小王当班长 q：小李当班长
- ( p ⋀ ¬ q ) ⋀ ( ¬ p ⋀ q ) (p \bigwedge \neg q) \bigwedge (\neg p \bigwedge q) (p⋀¬q)⋀(¬p⋀q)
- 李明在教室，张强是个好教练
- p：李明在教室 q:张强是个好教练
- p ⋁ q p \bigvee q p⋁q
-
关于蕴涵 ⟶ \longrightarrow ⟶的提示词
- 蕴涵 ⟶ \longrightarrow ⟶ 的条件(前件)、结论(后件)
- 条件在前，结论在后
- 如果……则……
- 因为……所以……
- 只要……就……
- ……仅当……
- 特殊的倒装情况：
- 只要结论，才条件
- 除非结论，否则 ¬ \neg ¬条件
- 除非结论，才条件
-
等价的 ⟷ \longleftrightarrow ⟷的关键词
- ……等价……
- ……当且仅当……
- 若……才能……
- 除非……，否则……
-
联结词的优先级
-
( ) > ¬ > ⋀ > ⋁ > ⟶ > ⟷ () > \neg > \bigwedge >\bigvee > \longrightarrow > \longleftrightarrow ()>¬>⋀>⋁>⟶>⟷
练习题
- 除非他以书面形式或口头形式通知我，否则我不会参加明天的会议
- p：他书面形式同时我，q：他口头形式通知我，r：我参加明天的会议
- r ⟶ p ⋁ q r \longrightarrow p \bigvee q r⟶p⋁q
- 虽然你努力了，但还是失败了。
- p：你努力了，q：你失败了
- p ⋀ q p \bigwedge q p⋀q
- 占据空间的，有质量的而且不断运动的叫做物质
- P：它占据空间 ，Q：它没有质量，R：它不断运动，S：它叫做物质。
- ( P ⋀ ¬ Q ⋀ R ) ⟶ S (P \bigwedge \neg Q \bigwedge R) \longrightarrow S (P⋀¬Q⋀R)⟶S
合式公式（合适公式）
-
括号要匹配
-
联结词使用是否合适
-
除变元外，是否存在非联结词符号
-
判断合适公式
- ( P ⋀ ¬ Q ⋁ ⋀ R ) (P\bigwedge \neg Q \bigvee \bigwedge R) (P⋀¬Q⋁⋀R)(×)
- P ⋀ ¬ Q ⇒ P P \bigwedge \neg Q \Rightarrow P P⋀¬Q⇒P(×) 无 ⇒ \Rightarrow ⇒联结词
- ( ( P → Q ) → ( R ∧ S ) ((P \rightarrow Q)\rightarrow (R \wedge S ) ((P→Q)→(R∧S)(×)括号不匹配
-
公式中每个变元有两种取值 0 、 1 0、1 0、1，所有 n n n个命题变原会有 2 n 2^n 2n种可能的取值。
-
使公式成真的叫成真赋值，为假的交成假赋值。
综合练习题
- 有ABC三个猜测甲乙丙三个球队中的冠军，个人的猜测如下：
A：冠军不是甲，也不是乙
B：冠军不是甲，而是丙
C：冠军不是丙，而是甲
已知其中有一个人说的完全正确，一个人说的都不对，而另外一个人恰有一半说对了，据此推算，冠军应该是（）
A.甲 B.乙 C.丙 D.不确定 - 设P：甲是冠军 Q：乙是冠军 R：丙是冠军。则ABC三人的说法可分别描述为：
- ¬ P ∧ ¬ Q \neg P \wedge \neg Q ¬P∧¬Q ¬ P ∧ R \neg P \wedge R ¬P∧R P ∧ ¬ R P \wedge \neg R P∧¬R由于P、Q、R中只能有一个为真，可列真值表如下：
| P Q R P Q R PQR | ¬ P ∧ ¬ Q \neg P \wedge \neg Q ¬P∧¬Q | ¬ P ∧ R \neg P \wedge R ¬P∧R | P ∧ ¬ R P \wedge \neg R P∧¬R |
|---|---|---|---|
| 1 0 0 | 0 ∧ 1 0 \wedge 1 0∧1 | 0 ∧ 0 0 \wedge 0 0∧0 | 1 ∧ 1 1 \wedge 1 1∧1 |
| 0 1 0 | 1 ∧ 0 1 \wedge 0 1∧0 | 1 ∧ 0 1 \wedge 0 1∧0 | 0 ∧ 1 0 \wedge 1 0∧1 |
| 0 0 1 | 1 ∧ 1 1 \wedge 1 1∧1 | 1 ∧ 1 1 \wedge 1 1∧1 | 0 ∧ 0 0 \wedge 0 0∧0 |
- 只有当PQR为1 0 0 时符合题目要求，所以冠军应该是甲
公式的分类和等价
- 公式类型有三种：
- 永真式(重言式):公式在所有可能的解释下都为真
- 永假式(矛盾式):公式在所有可能的解释下都为假
- 可满足式:至少有一种解释使得公式为真
- 永真式(重言式)的否定为永假式(矛盾式)
- 永假式(矛盾式)的否定为永真式(重言式)
- 永真式(重言式)是一种特殊的可满足式
- 两个公式等价( ⟺ \Longleftrightarrow ⟺): 2个公式在所有解释下真值相同。
基本等价公式：设A、B、C为任意公式【重点】
- 双重否定律： ¬ ¬ A = A \lnot \lnot A=A ¬¬A=A
- 幂等律：
- A ∨ A ⇔ A A \vee A\Leftrightarrow A A∨A⇔A
- A ∧ A ⇔ A A\wedge A\Leftrightarrow A A∧A⇔A
- 交换律：
- A ∨ B ⇔ B ∨ A A \vee B \Leftrightarrow B\vee A A∨B⇔B∨A
- A ∧ B ⇔ B ∧ A A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A A∧B⇔B∧A
- 结合律：
- ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) (A \vee B)\vee C\Leftrightarrow A\vee (B\vee C) (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C)
- ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) (A\wedge B)\wedge C\Leftrightarrow A\wedge (B \wedge C) (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
- 分配律：
- A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A \vee (B \wedge C)\Leftrightarrow(A \vee B)\wedge(A \vee C) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C)
- A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A \wedge (B \vee C)\Leftrightarrow(A \wedge B)\vee(A \wedge C) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)
- 德·摩根律：
- ¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B \lnot (A \vee B)\Leftrightarrow \neg A\wedge \lnot B ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B
- ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B \lnot(A\land B) \Leftrightarrow \lnot A \vee \lnot B ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B
- 吸收律：
- A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A A\lor(A\land B)\Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A
- A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A A\land (A\lor B)\Leftrightarrow A A∧(A∨B)⇔A
- 零律：
- A ∨ 1 ⇔ 1 A\lor 1\Leftrightarrow1 A∨1⇔1
- A ∧ 0 ⇔ 0 A \land 0\Leftrightarrow 0 A∧0⇔0
- 同一律：
- A ∨ 0 ⇔ A A \lor 0\Leftrightarrow A A∨0⇔A
- A ∧ 1 ⇔ A A \land 1\Leftrightarrow A A∧1⇔A
- 排中律：
- A ∨ ¬ A ⇔ 1 A \lor \neg A\Leftrightarrow 1 A∨¬A⇔1
- 矛盾律：
- A ∧ ¬ A ⇔ 0 A \land \neg A\Leftrightarrow 0 A∧¬A⇔0
- 蕴涵等值式：
- A → B ⇔ ¬ A ∨ B A \rightarrow B\Leftrightarrow \lnot A \lor B A→B⇔¬A∨B
- 等价等值式：
- A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∧ ( B → A ) A \leftrightarrow B \Leftrightarrow (A \rightarrow B)\land (B\rightarrow A) A↔B⇔(A→B)∧(B→A)
- 假言易位：
- A → B ⇔ ¬ B → ¬ A A\rightarrow B \Leftrightarrow \lnot B \rightarrow \lnot A A→B⇔¬B→¬A
- 等价否定等值式：
- A ⇔ B → ¬ A ⇔ ¬ B A \Leftrightarrow B\rightarrow\lnot A\Leftrightarrow \lnot B A⇔B→¬A⇔¬B
