从C语言占位符到码值
学C语言的时候一定会用到printf("%d",a);
有的课程称%d
为“占位符”,非常形象:%d
替a
占位,输出的时候a
的值会替换%d
的内容。
但也有课程称之为“转换规范”,官方称之为“format specifiers
”格式说明符。
以我目前的文化水平,我更倾向于“转换规范”。
因为计算机中的数据都是以01
的形式存储,你不知道这串01
是什么意思。
以char类型的变量a为载体举个例子:
unsigned char a=-1;
//-1 255 ff
printf("%hhd\t%hhu\t%hhx", a, a, a);
无符号数应该是不支持负数的,但上面的代码并不会报错,可以正常输出。
以hhd
的方式输出的就是-1
,以hhx
的方式输出的就是ff
。hhx
的意思是,输出1个字节宽度的十六进制表示,输出的内容是ff
,对应二进制就是1111 1111
。
如果你用hhu
的方式输出,也就是1个字节宽度的无符号数,输出内容将是255
,也就是二进制数1111 1111
的十进制表示。
对于二进制内容1111 1111
:
- 如果当成补码表示,那么真值就是
-1
。 - 如果当成纯二进制表示,也就是无符号数,那么真值就是
255
。
你可能会有以下疑问:
- 无符号数只有正数,但可以被负数赋值。
-1
可以被解释成255
,255
也可以被解释成-1
。
甚至即使你再加上
1
,人为地产生进位,程序也不会报错。
从正数加减法到负数加减法
如果有这样一个运算需求:
0+1
你会知道结果是1
,如果用八位二进制表示,那就是:
0000 0000
+0000 0001
=0000 0001
如果是0+2
呢,那就是:
0000 0000
+0000 0010
=0000 0010
正数的情况看起来非常简单,那如果是255+1呢,也就是:
1111 1111
+0000 0001
=1 0000 0000
由于存储单元大小为8位,产生了进位,存储单元最后保存的是0000 0000
。
如果要计算
0-1
呢?
到目前为止,我们没有涉及二进制减法的内容,实际上也不需要了解减法的运算规则。
假设计算的结果是x
,那么0-1=x
就可以变成0=x+1
。
也就是说,我们需要找一个+1
后等于1 0000 0000
的数,而这个数前面已经出现了,也就是1111 1111
,十六进制表示就是0xff
,也就是-1
的补码表示。
也就是说,-1
的补码就等于0
减1
,就是找一个加1
之后等于0
的数X
,这个数X
的二进制表示就是-1
的补码。
那如果是-2
呢,那就是找一个加2
之后等于0
的数,也就是1111 1110
。
以此类推。并且你会发现:
- 只要减数不是太大,小于128,最多减到
1000 0000
,最高位始终为1。 - 只要加数不是太大,小于127,最多加到
0111 1111
,最高位始终为0。
8位二进制共有
2
8
=
256
2^8=256
28=256种01
序列,以最高位为符号位,去掉最高位之后还有
2
7
=
128
2^7=128
27=128种01
序列,也就是说:
- 符号位1开头的有128个,即有128个负数。
- 符号位0开头的有128个,即有128个非负数,由于0还占一个,所以有127个正数。
我们人为地将添加一个偏移量,使得0x80
到0xff
的二进制数映射到负数-128
到127
上。使得原本的十进制数128
到255
分别表示-128
到127
。
有符号数 X 与补码的转换公式如下,256是8位二进制数的计数周期。
[
X
]
补
=
{
X
X
>
=
0
X
+
256
X
<
0
[X]_补=\left\{ \begin{aligned} &X\quad X>=0\\ &X+256 \quad X<0 \end{aligned}\right.
[X]补={XX>=0X+256X<0
原码?反码?
原码:没啥用。
反码:没啥用
原码和反码是人工求补码的中间过程。
计算机正负数补码的转换只有“减一取反”。
中间不保留原码和反码,计算机也不考虑这些。
学校的课件上说浮点数的尾数用原码表示,但在“软件设计师”中,尾数通常是用补码表示的。
移码
移码:数值上等于补码的最高位取反。
补码中小于零和大于等于零的数各占一半,有128个。最小的数是从1000 0000
开始的,表示-128
。
移码则是从0000 0000
开始计最小的数,也表示-128
。
与有符号数X的关系是:
[
X
]
移
=
X
+
128
[X]_移=X+128
[X]移=X+128
其中,128是二进制数计数周期的一半。
在补码中,1111 1111
表示-1
,0000 0000
表示0
。1111 1111
表示的数比0000 0000
表示的数要小。这有点乱。
在移码中,1111 1111
表示127
,0000 0000
表示-128
。较大的有符号数,对应的移码也是较大的。
因此,在比较数值大小和求差值的时候,是可以直接用移码相减的。
也因此,浮点数的阶码要用移码表示:方便比较、方便求差值对阶。
- 但,浮点数移码的偏移量不是128,而是127。
在这里,移码的偏移量是128,是因为8位二进制数计数周期的一半是128,也就是
2
7
2^7
27
如果是32位二进制数,那么偏移量将是
2
31
2^{31}
231。
如果你还是对偏移量不太清楚,那么本文的后面会有更详细的介绍。
四种码值的转换
如果现在有一个需求:求-128
的补码。
如果是“求反加一”的方法,将会不知所措。
如果用上面的方法:
[
X
]
补
=
{
X
X
>
=
0
X
+
256
X
<
0
[X]_补=\left\{ \begin{aligned} &X\quad X>=0\\ &X+256 \quad X<0 \end{aligned}\right.
[X]补={XX>=0X+256X<0
则会轻松的多:-128
的补码就等于十进制数128
的二进制表示。
求-128
的移码呢?那就是:
[
X
]
移
=
X
+
128
[X]_移=X+128
[X]移=X+128
-128
的移码就等于十进制数0
的二进制表示。
求-128
的原码呢?求不了,没有。
求-128
的反码呢?求不了,没有。
如果非要求出一个的话,那就只能用偏移量的方法。并且在软件设计师的教材中,解题用的往往都是“偏移量”,而不是“取反加一”。我个人也更倾向于使用“偏移量”。
因为原码和反码本身只是个中间产物,计算机中不存储它们,因此除了考试没啥用处。
正数的三种码制相同。
已知真值的情况下,对负数:
- 原码:绝对值对应的二进制,最高位置1。
- 反码:除了最高位,按位取反。
已知补码的情况下,对负数:
- 原码:减一求反
- 反码:补码减一
已知移码的情况下,先转换为补码。
定点数到浮点数
上面只是说了整数的表示。
如果是小数呢?分为定点小数和浮点小数。
在表示整数的时候,我们默认了有个小数点,在01
串的最右边,这被称为定点整数。
如果要表示定点小数,那么默认有个小数点,在01
串的最左边。
比如1100 0000
表示
2
−
1
+
2
−
2
=
0.5
+
0.25
=
0.75
2^{-1}+2^{-2}=0.5+0.25=0.75
2−1+2−2=0.5+0.25=0.75。
从左到右分别对应2的-1
、-2
…次幂,为什么要人为规定成这样呢,这跟二进制运算有关。
假如现在默认小数点位置在中间,有10.00
表示2
。
01.00
表示1
,满足2/2=1
,由2
的二进制表示右移一位得到。
00.10
应该表示1/2=0.5
,由1
的二进制表示右移一位得到。
00.01
应表示0.5/2=0.25
,也就是
2
−
2
2^{-2}
2−2。
浮点数表示
如果用十进制,浮点数可以表示成: 尾数 × 1 0 阶码 尾数\times10^{阶码} 尾数×10阶码
- 阶码:决定数值范围
- 尾数:决定数值精度
计算机用的是二进制,那么把10替换成2即可:
尾数
×
2
阶码
尾数\times2^{阶码}
尾数×2阶码
为了充分利用尾数,需要采用规格化浮点数:将尾数的绝对值限定在区间[0.5,1]
。
广泛采用的标准是IEEE 754
。
根据IEEE 754,被编码的值分为3种情况:规格化的值、非规格化的值和特殊值。
- 规格化的值:阶码部分的二进制值不全为0也不全为1。
- 非规格化的值:阶码部分的二进制全为0。
- 特殊值:阶码部分的二进制值全为1。
这三种状态也是人为定义。根据运算结果的二进制表示,人为分类的。
软件设计师教程例题:利用IEEE 754标准将
176.0625
表示为单精度浮点数
十进制转换为二进制:
(
176.0625
)
10
=
(
10110000.0001
)
2
(176.0625)_{10}=(1011 0000.0001)_2
(176.0625)10=(10110000.0001)2
规格化处理:
1011
0000.0001
=
1
♢
011
0000
0001
×
2
7
1011\ 0000.0001=1\diamondsuit 011\ 0000\ 0001\times2^7
1011 0000.0001=1♢011 0000 0001×27
满足
b
0
=
1
b_0=1
b0=1,而且小数点在
♢
\diamondsuit
♢的位置上,去掉
b
0
b_0
b0并扩展为单精度浮点数规定的23位尾数:
- 011 0000 0001 0000 0000 0000 011\ 0000\ 0001\ 0000\ 0000\ 0000 011 0000 0001 0000 0000 0000
求阶码:规格化处理得到的阶码为7
,单精度浮点数规定的指数偏移量为127
,不是前面移码的128
。那么阶码E=7+127=134
。
- ( 134 ) 10 = ( 1000 0110 ) 2 (134)_{10}=(1000\ 0110)_2 (134)10=(1000 0110)2
最后,可以得到
(
176.0625
)
10
(176.0625)_{10}
(176.0625)10的单精度浮点数表示:
单精度浮点数转真值
呈上学校ppt的例题:
浮点数运算
以下来自软件设计师教程
设有浮点数 X = M × 2 i , Y = N × 2 j X=M\times2^i,Y=N\times2^j X=M×2i,Y=N×2j:
- 对阶:小数向大数对齐,阶码小的数尾数右移
k
位,阶码加上k
,k=|i-j|
。 - 求尾数和。
- 结果规格化并判溢出:如果结果不是规格化的数,则需要规格化;如果溢出,则需要调整阶码。
- 舍入处理:对结果右规、对阶过程中会因尾数右移而使最低为丢掉。
- 溢出判别:以阶码为准,若阶码溢出,则运算结果溢出;若结果下溢,小于最小值,则结果为0。
浮点数乘法:积的阶码等于两乘数的阶码相加,积的尾数等于两乘数的尾数相乘。
浮点数除法:商的阶码等于两数的阶码相减,商的尾数等于两数的尾数相除。
乘除运算的结果都需要进行规格化处理并判断阶码是否溢出。
阶码与规格化
到这里还没提规格化的方式。
规格化发生在尾数运算结束后,我们需要使其“符合约定”,也就是一开始提到的,尾数第一位默认为1。
尾数运算结果需要规格化的情况有两种:
10.01
:小数点不在 b 0 b_0 b0之后,需要右移,尾数边小了,阶码需要+1
变大。0.1001
: b 0 ≠ 1 b_0\neq1 b0=1,需要左移,尾数变大了,阶码需要-1
变小。
也就是说,在尾数位移的过程中,可以会丢失最低位,影响数值精度。
在对阶过程中,阶码可能会小于0,也可能会溢出。
非规格化的值
如果对阶后阶码等于0000 0000
。
这也就对应“非规格化的值”,由于阶码是由移码表示的,因此0x00
在移码中表示最小的数。如果指数非常小,那么最后的结果将趋近于0
。
也因此,非规格化的值往往用于表示:0或非常接近0的数。
特殊值
如果对阶后阶码等于1111 1111
,在移码中表示最大的数。
当尾数部分全为0时,说明产生了溢出,将表示无穷大。
由于符号位单独存储,占用一位,因此存在正零和负零两种情况
如果尾数部分不全为0,将表示为“NaN”不是一个数。
“非规格化值”和“特殊值”也是对二进制数的人为定义。
就跟3.1415...
起名为pi
一样,你也可以人为地定义成你喜欢的名字。
因此,上述的加减法过程可以简化为:
- 对阶
- 求尾数和
- 规格化
对于舍入和溢出判别,这是对浮点数的二进制特殊形式的人为定义。
浮点数的表示范围
浮点数阶码用移码,二进制表示越大,其真值越大。
尾数是直接翻译成二进制,二进制越大,真值越大。
有单独的符号位表示正负,浮点数在正数和负数所表示的范围应当是对称的。
因此浮点数的范围可以通过对阶码和尾数全部置1或置0来猜测其表示范围的上下界。
当阶码除最后一位全部置1时,移码表示的数最大,为:
2
2
8
−
2
−
127
=
2
127
2^{2^8-2-127}=2^{127}
228−2−127=2127
当阶码除最后一位全部置0时,移码表示的数最小,为:
2
1
−
127
=
2
−
126
2^{1-127}=2^{-126}
21−127=2−126
下式中第一个1
为浮点数中约定省略的,小数点前的1
,在存储时隐去,计算时补回:
- 如果尾数全部置1,则尾数表示的数最大,为: 1 + 2 − 1 + 2 − 2 . . . 2 − 23 = = 1 + 1 − 2 − 23 = 2 − 2 − 23 1+2^{-1}+2^{-2}...2^{-23}==1+1-2^{-23}=2-2^{-23} 1+2−1+2−2...2−23==1+1−2−23=2−2−23
- 如果尾数除全部置0,尾数表示的数最小,为: 1 1 1
32位单精度浮点数表示的范围可以归纳成:
阶码全部置1和置零为人为定义的两种特殊情况:
- 全部置1:无穷大或“NaN”
- 全部置0:0或非常接近0的数
由于单精度浮点数只有32位,如果是按照补码或移码的偏移方式,能表示 2 32 2^{32} 232个数字。而由于浮点数范围比定点数大,但数的个数没变多,故数之间更稀疏,且不均匀。
C语言中的浮点数
如果你稍微学过,你应该知道,C语言浮点数是不能直接用等号判断的。
double a = 1.1;
double b = 1.2 - 0.1;
//1.100000 1.100000 0
printf("%lf\t%lf\t%d", a, b, a == b);
尽管输出都是1.100000
,但最后比较的结果仍然是0
。
正确的比较方式应该使用fabs()
对浮点数做差之后的结果取绝对值,与定义好的精度比较。
比如:fabs(a-b)<0.0001
,只要a-b
做差后的结果的绝对值小于0.0001
,那么就可以看作是相等。
这里稍微不好理解的就是①和②。
不相等的的原因是,int和float都是32位,表示的数字数量是相等的,但范围不对等。两次类型转换可能会损失数据。
至于具体的存储方式,等我文化水平再高一点,再说。
总结
已知8位二进制数,计数周期为256,计数周期的一半为128。
求补码:
[
X
]
补
=
{
X
X
>
=
0
X
+
256
X
<
0
[X]_补=\left\{ \begin{aligned} &X\quad X>=0\\ &X+256 \quad X<0 \end{aligned}\right.
[X]补={XX>=0X+256X<0
求移码:
[
X
]
移
=
X
+
128
[X]_移=X+128
[X]移=X+128
原码和反码没啥用。
单精度浮点数表示:
1
符号位
S
+
8
阶码
E
+
2
3
尾数
M
1_{符号位S}+8_{阶码E}+23_{尾数M}
1符号位S+8阶码E+23尾数M
- 阶码用移码,偏移量为127,指数位置,决定数值范围。
- 尾数是纯二进制,有说原码也有说补码,系数位置,决定数值精度。
真值求浮点数的时候默认小数点前有个1,会隐去。
浮点数求真值的时候要把小数点前的1加回来。
浮点数运算:小数向大数对阶,尾数相加,规格化。
胡扯几句
其实到这里就已经足够了。
人为规定&偏移量
单纯对01
串提偏移量可能比较抽象。
一个形象的偏移方式就是“凯撒密码”:对字符串添加+3
的偏移量,使得原文ABC
表示为密文DEF
。
这里的+3
偏移量也是凯撒人为定义的。此时添加偏移量是为了加密。
跟码制相关的偏移方法的话,有余三码和ASCII码。
余三码就是对数字0~9
添加一个+3
的偏移量,即:
[
X
]
余三
=
X
+
3
0
≤
X
≤
9
[X]_{余三}=X+3\quad 0\leq X\leq9
[X]余三=X+30≤X≤9
在对余三码进行加法运算时,相当于加了两次3
,因此结果需要减掉一个3
。
如果产生进位的话,结尾0
对应的二进制表示应该是11
,结果需要加上一个3
。
根据我脑子里残留的数电知识,此时添加偏移量是为了减少零一变换的频率,以降低数据的出错率。
这里需要搞清楚进位和溢出,尽管我也会经常说错:
- 溢出:有符号数的溢出
- 进位:无符号数的溢出
ASCII码就是对数字0~9
添加一个+48
的偏移量,即:
[
X
]
A
S
C
I
I
=
X
+
48
0
≤
X
≤
9
[X]_{ASCII}=X+48\quad 0\leq X\leq9
[X]ASCII=X+480≤X≤9
char类型值48如果用%c
的转换规范,那么结果是对应的ASCII码0
,如果是%uud
,那么结果是补码48
。
无论是0
还是48
,都是人为定义。你也可以自己实现一个函数,输入48
的时候,输出自定义的字符串。
对于8位二进制,我们需要划分一部分表示正数,划分一部分表示负数,理想化的方法就是正数负数各占一半。
至于二进制与十进制有符号数的对应关系,需要我们人为定义。这就需要对一部分数据添加一个偏移量。
比如在补码中:
0x00
到0x7f
表示的二进制数与实际需求相同,不作偏移。0x80
到0xff
表示-128
到-1
,需要将二进制对应的十进制加上一个人为规定的偏移量-256
。
在移码中:
0x00
到0xff
表示-128
到127
,需要将二进制对应的十进制加上一个人为规定的偏移量128
。
在上面的余三码中,需要根据是否进位,对计算后的结果再修改一次。
而在补码和移码中,不需要这一步,运算的结果就是最终结果:
- 补码的偏移量256,刚好是进位,无论加减,不影响结果。
- 移码只涉及比较和减法运算,只需要能表达差值即可。加法的时候不会用到移码。
虽然说浮点数的阶码用的是移码,但单精度浮点数规定的偏移量是127,而不是128。
面向硬件编程
以char类型的变量a为载体举个例子:
char a = 255;
//-1 ff
printf("%hhd\t%hhx", a, a);
a += 1;
//0 0
printf("%hhd\t%hhx", a, a);
unsigned char b = -1;
//255 ff
printf("%hhu\t%hhx", b, b);
char
类型的数值范围应该是-128-127
。但将255赋值给a,是不会报错的。甚至255+1
也不会报任何错误。
unsigned char
类型应该只有正数,但用负数赋值的时候并没有报错,还能正常输出255
。
如果你接触过面向硬件编程,那么你应该知道,无论是char还是int,都只是申请了一段内存空间,区别在于内存空间的大小和默认的转换规范不同。比如51单片机通常直接用unsigned char
或者unsigned int
申请8位或16位空间,申请过来是为了方便操作寄存器,而不完全是为了计算。
将255
赋值给a输出的结果和-1
相同,原因是它们对应的二进制表示是相同的,都是1111 1111
,通过char类型的转换规范,输出的结果就是-1
,如果是unsigned char
,那么结果将是255
。
小记
之前写过一篇博客(http://t.csdnimg.cn/SW5yc),内容是原码反码补码的内容。
当时是在学“数字逻辑”,在别的学校应该叫“数电”。
当时我文化水平不够,很快就有大佬发现了问题,这是他的博客专栏(http://t.csdnimg.cn/1522w)我觉得他讲的很好。
这学期的计组又要学这玩意,现在回顾梳理一下。
东西有点多,这篇博客还是有点乱,中间可能会反复修改几次。
现在文化水平还是不够,可能还存在问题,欢迎评论区或私聊指正。