《算法设计与分析(第4版)》笔记——第 1 章 算法入门

news2024/11/22 9:38:55

现在跟的是 b站黑马 的视频课,还是这个好哇

2023新版数据结构与算法Java视频教程(上篇)

2023新版数据结构与算法Java视频教程(下篇)


之前跟的是 青岛大学 张公敬教授 的《算法设计与分析》(做了笔记就发出来吧)

mooc:算法设计与分析_青岛大学_中国大学Mooc(慕课)

b站:算法设计与分析MOOC-青岛大学-张公敬教授

用的是 王晓东的《计算机算法设计与分析》 ,虽然书名不同,但是里面的内容和算法是差不多的。

个人觉得应付专业课学前四章就够了,把一些经典的入门算法题刷一刷记下来就够用了。

第 1 章 算法入门

1.1 算法概论

1.2 求两个正整数的最大公约数的 3 种算法

计算两个正整数 m , n 的最大公约数

1.2.1 欧几里德算法 gcd(m,n)

其中 m > n ,其递归定义为:

gcd(m,n) = m , n=0

gcd( n , m mod n ) , n>0

gcd(60,24)

gcd(60,24) = 
∵ 60 / 24 = 2 余 12 ∴ m = 24 n = 12
gcd(24,12) = 
∵ 24 / 12 = 2 余 0 ∴ m = 12 n = 0
gcd(12,0) = 12
自然语言描述

第一步:如果 n = 0,返回 m 的值作为结果,同时过程结束;否则,进入 第二步。

第二步:用 n 去除 m ,将余数赋给 r 。

第三步:将 n 的值赋给 m ,将 r 的值赋给 n ,返回 第一步。

伪代码描述

算法 Euclid(m,n)

//使用欧几里德算法计算 gcd(m,n)

//输入:两个不全为零的非负整数 m,n

//输出:m,n 的最大公约数

while n <> o dor

​ r ← m mod n

​ m ← n

​ n ← r

return m

Java语言描述

算法 Euclid(m,n)

//使用欧几里德算法计算 gcd(m,n)

//输入:两个不全为零的非负整数 m,n

//输出:m,n 的最大公约数

//使用欧几里德算法计算 gcd(m,n)
//输入:两个不全为零的非负整数 m,n
//输出:m,n 的最大公约数
public static int gcd(int m,int n) {
	// 第一种写法
    int r;
    while(n != 0) {
    	r = m % n;
    	m = n;
    	n = r;
    }
    return m;
    
    // 第二种写法
	// if(n == 0) return m;
	// return gcd(n, m%n);
}
其他描述方式
  • 流程图
  • N-S图
  • 等等
  • 各种描述方法都有一定的优缺点

1.2.2 连续整数检测算法

算法思想

基于最大公约数的定义:同时整除两个整数的最大整数

显然,不会大于两数较小者。

故令: t = min{m , n}

用 t 除 m ,n ,若除尽, t 即最大公约数;

否则令:= t - 1 ,继续尝试。

gcd(60,24)

∵ t = 24 无法同时除尽60,24
∴ t = 23
∵ t = 23 无法同时除尽60,24
∴ t = 22
······
∵ t = 12 无法同时除尽60,24
∴ 返回 t 的值

自然语言描述

第一步:将 min{m,n} 的值赋给 t 。

第二步:m 除以 t ,如果余数为 0 ,进入第三步;否则,进入第四步。

第三步:n 除以 t ,如果余数为 0 ,返回 t 值作为结果;否则,进入第四步。

第四步:将 t 值减 1 。返回第二步。

1.2.3 因式分解

思路

把 2···n 之间的所有素数找出来,逐个逐个测试出 m , n 中包含的公共素因子,将公共的素因子相乘就得到最大公约数。

∵ 60 = 2 x 2 x 3 x 5
   24 = 2 x 2 x 2 x 3
∴ gcd(60,24) = 2 x 2 x 3 = 12

新问题:如何快速找出 2···n 之间的所有素数?

埃拉托色尼筛算法

算法思想

  • 首先初始化一个 2~n 的连续序列,作候选质数。
  • 第一个循环消去 2 的倍数,
  • 然后,指向序列的下一个数字 3 ,消去其倍数,
  • 接下来指向 5 ,消去其倍数,
  • 按此方法不断做下去,直到序列中没有可消元素

小结

本节主要内容

  1. 算法的定义与性质
  2. 解决问题的流程
  3. 以求最大公约数为例了解算法的描述方法
  4. 以求最大公约数为例证明算法的正确性

1.3 算法时间复杂度计算方法

请添加图片描述

1.4 算法时间复杂度的表示方法

递归算法

非递归算法

1.5 主定理方法解递归方程

1.5.1 递推方法求递归算法的时间复杂性

请添加图片描述

1.5.2 Master 定理方法求递归算法时间复杂性

请添加图片描述

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