0. 引入

并查集是来解决等价问题的数据结构。

离散数学中的二元关系。

等价关系需满足自反性、对称性、传递性。
$$\begin{gathered} a\in S,aRa \\ aRb\&bRa \\ aRb\cap bRc=>aRc \end{gathered}$$

1. 需要实现的操作

给定n个数据，看能划分多少个等价类。

初始时即分为n个等价类，然后再一一合并。

所以需要实现的操作为：

1. 合并两个等价类
2. 查找元素属于哪个等价类

2. 实现

2.0 父节点

vector<int> pa;

2.1 查找

int Find(int k)
{
	return k == pa[k] ? k : Find(pa[k]);
}

2.2 合并

void Union(int a0, int a1)
{
	int p0 = Find(a0);
	int p1 = Find(a1);
	
	if ( p0 != p1 ) {
		pa[p0] = p1;
	}
}

2.3 路径压缩

对于查找来说如果简单的递归的话，最坏的情况便是全都在左子树。

如(0,1) (0,2) (0,3) (0, 4) ... (0, n)

这样会导致单次查询如同一个链表一样达到O(n)。

只需要改动一点点就可以完成路径压缩。

int Find(int k)
{
return k == pa[k] ? k : pa[k] = Find(pa[k]);
}

2.4 按节点数合并

可以令开一个数组，记录当前节点下的节点数。在合并的时候取小的节点合并到大的节点上去。

void Union(int a1, int a2)
{
	int p1 = Find(a1);
	int p2 = Find(a2);
	if ( p1 == p2)
	       return;
	
	if (sz[p1] < sz[p2]) {
		pa[p1] = p2;
	    sz[p2] += sz[p1];
	}
	else {
        pa[p2] = p1;
        sz[p1] += sz[p2];
    }     
}

3. 类封装

3.1 路径压缩

class UnionFind {
    public:
        explicit UnionFind(int sz):cnt(sz),pa(sz)
        {
            iota(pa.begin(), pa.end(), 0);
        }
        int Find(int k )
        {
            return k == pa[k] ? k : pa[k] = Find(pa[k]);
        }
        void Union(int k1, int k2 )
        {
            int p0 = Find(k1);
            int p1 = Find(k2);

            if ( p0 != p1) {
                pa[p0] = p1;
                cnt--;
            }
        }
        int Cnt()
        {return cnt;}

    private:
        vector<int> pa;
        int cnt;
};

3.2 按节点数合并

public:
class UnionFind {
    public:
        explicit UnionFind(int _sz):cnt(_sz),pa(_sz),sz(_sz, 1)
        {
            iota(pa.begin(), pa.end(), 0);
        }
        int Find(int k )
        {
            return k == pa[k] ? k : Find(pa[k]);
        }
        void Union(int k1, int k2 )
        {
            int p0 = Find(k1);
            int p1 = Find(k2);

            if (p0 == p1)
                return ;

            if (sz[p0] < sz[p1] ) {
                pa[p0] = p1;
                sz[p1] += sz[p0];
            }
            else {
                pa[p1] = p0;
                sz[p0] += sz[p1];
            }
        }
        int Cnt()
        {return cnt;}

        int Size(int idx)
        { return sz[idx]; }

        

    private:
        vector<int> pa,sz;
        int cnt;
};

4. 参考

lFoll题解
OIWIKI