跨孔CT交叉梯度联合反演算法

利用交叉梯度函数的结构约束作用实现多种跨孔CT的联合反演。

1、跨孔CT原理

跨孔CT是根据异常体与围岩存在物性差异（电性差异、弹性差异），分别将传感器放置于两个钻孔中，通过观测对应的地球物理场数据来反演地下介质参数的分布。其基础是经典的拉动变换，通过一定的数学计算，可以将复杂的场的数学物理公式转化为线性方程组，从而进行层析反演。

如上图所示示意图，假设地下介质中有一个充水溶洞，（充水溶洞与周围介质既有电磁波吸收系数差异，又有地震波速度差异）。在溶洞两边分布打一个钻孔，将发射探头与接收排列分别放置在两个钻孔中，然后以扇形扫描的观测方式采集数据，获取观测数据。

2、跨孔CT正演算法

相关的算法在我的博客中已有详细说明，在这里直接放上计算结果。跨孔CT正演的目的有两个，一是通过对模型进行正演得到模型观测数据，二是通过射线追踪得到得到反演雅克比矩阵的近似值。

2.1 多模块快速推进算法

2.2 最短路径法弯曲射线追踪

2.3 胖射线追踪

2.4 直射线追踪

3、跨孔CT正演模型

建立了一个简单的模型验证联合反演算法的正确性。观测系统及模型图如下所示。
观测系统图：

速度模型图：

吸收系数模型图：

4、交叉梯度联合反演结果

遵循控制变量的原则，保持其他参数均不变，仅改变交叉梯度项的约束权重，对比单独反演和联合反演的结果。

4.1 单独反演结果

下图为单独反演的结果，左图是速度模型，中间的图是吸收系数模型，右边的图是交叉梯度函数分布图。

4.2 联合反演结果

下图为不同权重的联合反演结果。

5、联合反演结果评价

采用两个指标评价反演结果，即交叉梯度函数与归一化数据均方误差。

5.1 交叉梯度项数值

当约束权重为0时（图中黑色的线），交叉梯度函数明显较大；约束权重不为0时（图中彩色的线），交叉梯度函数较小。

5.2 归一化均方误差

单独反演和联合反演数据归一化均方误差都较小，联合反演算法具有较好的稳定性。