本文总结参考于 kira 2023概率提神醒脑技巧班。

        笔记均为自用整理。加油！ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ

        第一部分笔记详见

        概率 | 【提神醒脑】自用笔记串联一 —— 事件、随机变量及其分布_西皮呦的博客-CSDN博客

        一研为定！

         

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四、随机变量的数字特征

 

         

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4.1、数学期望（先判X、Y的类型）

 

• 辨析：
• 1、
• 2、期望指的是 f 是谁的函数。
  • 

         

• 所有的随机变量都有数学期望吗？
• —— 错误，前提是要绝对收敛。
• —— 可与第五章 大数定律、切比雪夫结合出题。
• 
  • 错误。EX 不存在。
  • 唯独需要考虑，级数中的条件收敛。

        

         

若X是离散型，Y一定是离散型。但是若X是连续型，Y不一定是连续型。必须严格单调。

         

• 系数往外提，和差都能拆

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【例4.2】应用题【已知X分布，求EY】

        ① 找X分布   ②Y=g(X)函数

         

         

        

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• 期望和方差都是一维的。
• 

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【例4.2】

        

 【解析】

        连续型直接积分。

        

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4.2、方差

        

        

        

        

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【例4.4】 几何分布、直接利用分布的性质而不用概率密度积分

         

         

         

         

        

        

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【例4.5】

         

         

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 ※☆☺最大最小值期望

         ；若括号里是1，则为最小值。

        

【例4.6】一般连续型随机变量求期望 → 转一维

         

         

         

第二问利用 ——

        

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4.3、随机变量的矩、协方差和相关系数

         

                 

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【例4.7】

        

【解析】A

        

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【例4.8】

         

        

         

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 4.3、相关系数

 

        

        

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 ※☆☺线性相关系数不是看斜率！

        

【例4.9】

        

 【解析】A

不是看斜率！

                 

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4.4、四个等价命题

         

• X,Y不相关一定独立，X,Y独立不一定不相关。
• 二维正态 变 五个等价命题。+ 独立

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※☆☺ 0-x分布 概率与期望互推

【例4.11】

         

         

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※ ※ ※ 二维正态分布

 

         

        

• X和Y都服从一维正态分布，请问aX+bY(ab≠0)服从什么分布? —— 不一定
• 如果再添加一个条件“X和Y独立”呢？ —— 正态

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【例3.9】

        

【解析】

法一可以用 大φ 求导

         

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【例3.10】

        

         

         

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【2022 数一】

        

         

法一：对比 背诵公式

法二：正常积分求，注意 条件概率密度的使用，X当常数！

                

                 

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 五、大数定律与中心极限定理

 

5.1、切比雪夫不等式

        

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【例5.1】

         

         

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5.2、大数定律

 

5.2.1、依概率收敛

         

         

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5.2.2、切比雪夫大数定律（三个条件）

 

 5.2.3、辛钦大数定律（两个条件）

         

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• 求谁的平均，验谁的条件。

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【例5.2】 

         

         

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【例5.3】 

        

         

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 5.3、中心极限定理 【研究和的分布、次数的分布】

                

        

        

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【例5.4】求谁的和就设谁是xi

         

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【例5.5】

        

【解析】A

         

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六、数理统计【背公式 求你了】

 

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6.1、统计量与统计值

•  样本：相互独立且和总体同分布的随机变量。

        

         

         

        

        

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【例6.6】

         

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【例6.1】

        

         

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【例6.2】统计量的数字特征