微积分 - 洛必达法则的四种类型

news2024/11/29 10:51:09

洛必达法则

考虑如下形式的极限： $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 。因为f和g都是可导函数，所以可在x=a点对他们进行线性化有： $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$ 和 $g(x) \approx g(a) + g'(a)(x-a)$ 。现在，假设f(a)和g(a)都为0，这说明 $f(x) \approx f'(a)(x-a)$ 和 $g(x) \approx g'(a)(x-a)$ 。如果f(x)除以g(x),假设 $x\neq a$ 则有

$\frac{f(x)}{g(x)} \approx \frac{f'(a)(x-a)}{g'(a)(x-a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$ 这就是洛必达法则。

类型A : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} : ( 0/0,\pm \infty / \pm \infty)$

洛必达法则对于 $\lim_{x \to a}f(x) = \infty$ 和 $\lim_{x \to a}g(x) = \infty$ 的情况也同样适用。例如求极限

$\lim_{x \to \infty }\frac{3x^2+7x}{2x^2-5}$ 。可以注意到当 $x \to \infty$ 时，分子和分母同时趋于 $\infty$ ，所以可以使用洛必达法则： $\lim_{x \to \infty }\frac{3x^2+7x}{2x^2-5} = \lim_{x \to \infty }\frac{6x+7}{4x} = \lim_{x \to \infty }(\frac{6}{4}+\frac{7}{4x})$ .可以看出当 $x \to \infty$ 时， $\frac{7}{4x}$ 趋于0，所以极限结果为 $\frac{6}{4}$ 也就是 $\frac{3}{2}$ 。

类型B : $\lim_{x \to a} (f(x)-g(x)) : ( \infty - \infty)$

考虑这个极限表达式： $\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx} - \frac{1}{x})$ 当 $x \to 0^+$ 时， $\frac{1}{sinx}$ 和 $\frac{1}{x}$ 都趋于 $\infty$ ,当 $x \to 0^-$ 时， $\frac{1}{sinx}$ 和 $\frac{1}{x}$ 都趋于 $-\infty$ ,无论哪种情况，这都是两个非常大的数的差。

幸运的事可以很容易把这种形式转换成类型A，我们所需要做的仅仅是通分：

$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0}\frac{x-sinx}{xsinx}$

现在把x=0代入，可以看出这是0/0型的不定式，所以可以用洛必达法则。

$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0}\frac{x-sinx}{xsinx} = \lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{sinx+xcosx}$

把x=0代入后，仍然是是0/0型的不定式，所以继续用洛必达法则。

$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx} - \frac{1}{x}) = \lim_{x \to 0}\frac{1-cosx}{sinx+xcosx} = \lim_{x \to 0}\frac{sinx}{cosx +cosx-xsinx}$

到这里后把x=0代入可以得到分子为0分母为2于是就有：

$\lim_{x \to 0}(\frac{1}{sinx} - \frac{1}{x}) = 0$

类型B2 : $\lim_{x \to a} f(x)\times g(x) : (0 \times \pm \infty)$

考虑这个极限表达式： $\lim_{x \to 0^+}xlnx$ 。因为当 $x \leqslant 0$ 时， $lnx$ 没有意义。所以只需求当 $x \to 0^+$ 的极限。可以看出，当 $x \to 0^+$ 时 $x \to 0$ , $lnx \to -\infty$ 。让我们通过处理分母把该极限转换成类型A。

$\lim_{x \to 0^+}xlnx = \lim_{x \to 0^+}\frac{lnx}{\frac{1}{x}}$

现在为 $-\infty / \infty$ 行，所以可以使用洛必达法则。

$\lim_{x \to 0^+}xlnx = \lim_{x \to 0^+}\frac{lnx}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0^+}\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}$

最右边的极限可以化简为-x。所以最后的极限为

$\lim_{x \to 0}(-x) = 0$

类型C : $\lim_{x \to a} f(x) ^ {g(x)} : (1 ^ {\pm \infty}, 0^0,\infty ^0)$

最后我们研究最复杂的一种情况： $\lim_{x \to 0^+} x^{sinx}$ 。这时候我们设 x=0,那么我们就得到了 $0^0$ ,这是不定式的另外一种形式，为求得该极限，要使用类似对数函数的求导法则。基本思想是相对 $x^{sinx}$ 取对数，接下来再求当 $x \to 0^+$ 时的极限。