文章目录
- 基本原理
- Kruskal算法
- Prim算法
基本原理
连通图中的每一棵生成树,都是原图的一个极大无环子图,即:从其中删去任何一条边,生成树就不在连通;反之,在其中引入任何一条新边,都会形成一条回路。
若连通图由n个顶点组成,则其生成树必含n个顶点和n-1条边。因此构造最小生成树的准则有三条:
- 只能使用图中的边来构造最小生成树
- 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点
- 选用的n-1条边不能构成回路
构造最小生成树的方法:Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。
Kruskal算法
核心思想:每次迭代时,选出一条具有最小权值,且连接后图不形成回路,加入生成树。
- 利用优先级队列记录当前最小的边
- 判断是否形成回路利用并查集
并查集
template<class W>
struct Edge
{
Edge(int srci,int dsti,W w)
:_srci(srci)
,_dsti(dsti)
,_w(w)
{}
bool operator>(const Edge& e) const
{
return _w > e._w;
}
int _srci;
int _dsti;
W _w;
};
int Kruskal(self& minT)
{
int n = _vertexs.size();
minT._matrix.resize(n, vector<int>(n,MAX_W));
minT._vertexs = _vertexs;
minT._mapIndex = _mapIndex;
unionFindSet ufs(n);
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;
//将所有边入队列
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
for (int j = i+1; j < n; ++j)
{
if (_matrix[i][j] != MAX_W)
{
pq.push({ i,j,_matrix[i][j] });
}
}
}
int sz = 0;
int mincount = 0;
// 边不在一个集合,说明不会构成环,则添加到最小生成树
while (!pq.empty() && sz < n - 1)
{
Edge tmp = pq.top();
pq.pop();
if (ufs.isSameRoot(tmp._dsti, tmp._srci) == false)
{
sz++;
mincount += tmp._w;
minT._matrix[tmp._dsti][tmp._srci] = tmp._w;
ufs.gather(tmp._dsti, tmp._srci);
}
}
if (sz != n - 1)
{
return -1;
}
return mincount;
}
void TestGraphMinTree()
{
const char* str = "abcdefghi";
Graph<char, int> g(str, strlen(str));
g.AddEdge('a', 'b', 4);
g.AddEdge('a', 'h', 8);
g.AddEdge('b', 'c', 8);
g.AddEdge('b', 'h', 11);
g.AddEdge('c', 'i', 2);
g.AddEdge('c', 'f', 4);
g.AddEdge('c', 'd', 7);
g.AddEdge('d', 'f', 14);
g.AddEdge('d', 'e', 9);
g.AddEdge('e', 'f', 10);
g.AddEdge('f', 'g', 2);
g.AddEdge('g', 'h', 1);
g.AddEdge('g', 'i', 6);
g.AddEdge('h', 'i', 7);
Graph<char, int> kminTree;
cout << "Kruskal:" << g.Kruskal(kminTree) << endl;
kminTree.print();
}
Prim算法
Prim与Kruskal算法类似区别在于
Kruskal算法:从整个图寻找最小的边去试
Prim算法:从某个节点出发,先找该节点相邻最小的边,每选取一个节点,将该节点所有的边入优先级队列,在选取最小的边去试
int Prim(self& minT,const V& start)
{
int n = _vertexs.size();
minT._matrix.resize(n, vector<int>(n, MAX_W));
minT._vertexs = _vertexs;
minT._mapIndex = _mapIndex;
unionFindSet ufs(n);
priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> pq;
int starti = findIndex(start);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[starti][i] != MAX_W)
{
pq.push({ starti,i,_matrix[starti][i] });
}
}
int sz = 0;
int mincount = 0;
while (!pq.empty() && sz < n - 1)
{
Edge tmp = pq.top();
pq.pop();
// 防止成环
if (ufs.isSameRoot(tmp._dsti, tmp._srci) == false)
{
sz++;
mincount += tmp._w;
ufs.gather(tmp._dsti, tmp._srci);
minT._matrix[tmp._dsti][tmp._srci] = tmp._w;
// 新入顶点的边入队列
for (int i = 0; i < n; i++)
{
if (_matrix[tmp._dsti][i] != MAX_W)
{
pq.push({ tmp._dsti,i,_matrix[tmp._dsti][i] });
}
}
}
}
if (sz != n - 1)
{
return -1;
}
return mincount;
}