数据结构与算法（四）：哈希表

news2024/11/19 21:14:36

参考引用

  • Hello 算法
  • Github：hello-algo

1. 哈希表

1.1 哈希表概述

  • 哈希表（hash table），又称散列表，其通过建立键 key 与值 value 之间的映射，实现高效的元素查询

    • 具体而言，向哈希表输入一个键 key ，则可以在 O(1) 时间内获取对应的值 value

  • 如下图所示，给定 n 个学生，每个学生都有 “姓名” 和 “学号” 两项数据。假如希望实现 “输入一个学号，返回对应的姓名” 的查询功能，则可以采用下图所示的哈希表来实现

在这里插入图片描述

  • 除哈希表外，数组和链表也可以实现查询功能，它们的效率对比如下图所示
    • 在哈希表中进行增删查改的时间复杂度都是 O(1)，非常高效

在这里插入图片描述

1.2 哈希表常用操作

  • 哈希表的常见操作包括：初始化、查询操作、添加键值对和删除键值对等
/* 1、初始化哈希表 */
unordered_map<int, string> map;

/* 2、添加操作 */
// 在哈希表中添加键值对 (key, value)
map[12836] = "小哈";
map[15937] = "小啰";
map[16750] = "小算";
map[13276] = "小法";
map[10583] = "小鸭";

/* 3、查询操作 */
// 向哈希表输入键 key ，得到值 value
string name = map[15937];

/* 4、删除操作 */
// 在哈希表中删除键值对 (key, value)
map.erase(10583);
  • 哈希表有三种常用遍历方式：遍历键值对、遍历键和遍历值
    /* 5、遍历哈希表 */
// 遍历键值对 key->value
for (auto kv: map) {
    cout << kv.first << " -> " << kv.second << endl;
}
// 单独遍历键 key
for (auto kv: map) {
    cout << kv.first << endl;
}
// 单独遍历值 value
for (auto kv: map) {
    cout << kv.second << endl;
}

1.3 哈希表简单实现

基于数组实现哈希表
  • 在哈希表中，将数组中的每个空位称为桶（bucket），每个桶可存储一个键值对。因此，查询操作就是找到 key 对应的桶，并在桶中获取 value。如何基于 key 来定位对应的桶呢？通过哈希函数（hash function）实现
    • 哈希函数的作用：将一个较大的输入空间映射到一个较小的输出空间
    • 在哈希表中，输入空间是所有 key，输出空间是所有桶（数组索引）。换句话说，输入一个 key，可以通过哈希函数得到该 key 对应的键值对在数组中的存储位置
  • 输入一个 key，哈希函数的计算过程分为以下两步
    • 通过某种哈希算法 hash() 计算得到哈希值
    • 将哈希值对桶数量（数组长度，capacity）取模，从而获取该 key 对应的数组索引 index
    index = hash(key) % capacity
  • 随后，就可以利用 index 在哈希表中访问对应的桶，从而获取 value。设数组长度 capacity = 100、哈希算法 hash(key) = key，易得哈希函数为 key % 100。下图以 key 学号和 value 姓名为例，展示了哈希函数的工作原理

在这里插入图片描述

/* 键值对 */
struct Pair {
public:
    int key;
    string val;
    Pair(int key, string val) {
        // 使用 this 指针来引用当前对象的成员变量，将传入的参数赋值给成员变量 key 和 val
        this->key = key;
        this->val = val;
    }
};

/* 基于数组简易实现的哈希表 */
class ArrayHashMap {
private:
    vector<Pair *> buckets;

public:
    ArrayHashMap() {
        // 初始化数组，包含 100 个桶
        buckets = vector<Pair *>(100);
    }

    ~ArrayHashMap() {
        // 释放内存
        for (const auto &bucket : buckets) {
            delete bucket;
        }
        buckets.clear();
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        int index = key % 100;
        return index;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        Pair *pair = buckets[index];
        if (pair == nullptr)
            return "";
        return pair->val;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        Pair *pair = new Pair(key, val);
        int index = hashFunc(key);
        buckets[index] = pair;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 释放内存并置为 nullptr
        delete buckets[index];
        buckets[index] = nullptr;
    }

    /* 获取所有键值对 */
    vector<Pair *> pairSet() {
        vector<Pair *> pairSet;
        for (Pair *pair : buckets) {
            if (pair != nullptr) {
                pairSet.push_back(pair);
            }
        }
        return pairSet;
    }

    /* 获取所有键 */
    vector<int> keySet() {
        vector<int> keySet;
        for (Pair *pair : buckets) {
            if (pair != nullptr) {
                keySet.push_back(pair->key);
            }
        }
        return keySet;
    }

    /* 获取所有值 */
    vector<string> valueSet() {
        vector<string> valueSet;
        for (Pair *pair : buckets) {
            if (pair != nullptr) {
                valueSet.push_back(pair->val);
            }
        }
        return valueSet;
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (Pair *kv : pairSet()) {
            cout << kv->key << " -> " << kv->val << endl;
        }
    }
};

1.4 哈希冲突与扩容

  • 本质上看，哈希函数的作用是将所有 key 构成的输入空间映射到数组所有索引构成的输出空间，而输入空间往往远大于输出空间。因此，理论上一定存在 “多个输入对应相同输出” 的情况
  • 对于上述示例中的哈希函数，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的输出结果也相同。例如，查询学号为 12836 和 20336 的两个学生时，得到
    12836 % 100 = 36
20336 % 100 = 36
  • 如下图所示，两个学号指向了同一个姓名，这显然是不对的。将这种多个输入对应同一输出的情况称为哈希冲突（hash collision）

在这里插入图片描述

  • 容易想到，哈希表容量越大，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。因此，可以通过扩容哈希表来减少哈希冲突。如下图所示，扩容前键值对 (136, A) 和 (236, D) 发生冲突，扩容后冲突消失

在这里插入图片描述

类似于数组扩容，哈希表扩容需将所有键值对从原哈希表迁移至新哈希表，非常耗时。并且由于哈希表容量 capacity 改变，需要通过哈希函数来重新计算所有键值对的存储位置，这进一步提高了扩容过程的计算开销。为此，通常会预留足够大的哈希表容量，防止频繁扩容

  • 负载因子是哈希表的一个重要概念，其定义为哈希表的元素数量除以桶数量，用于衡量哈希冲突的严重程度，也常被作为哈希表扩容的触发条件

2. 哈希冲突

  • 通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一桶索引

  • 哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，可以采用以下策略

    • 改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作
    • 仅在哈希冲突比较严重时，才执行扩容操作

哈希表的结构改良方法主要包括 “链式地址” 和 “开放寻址”

2.1 链式地址

  • 在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。链式地址（separate chaining）将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子

在这里插入图片描述

  • 基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化

    • 查询元素
      • 输入 key，经过哈希函数得到桶索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对
    • 添加元素
      • 先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中
    • 删除元素
      • 根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除

  • 链式地址存在以下局限性

    • 占用空间增大，链表包含节点指针，它相比数组更加耗费内存空间
    • 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
  private:
    int size;                       // 键值对数量
    int capacity;                   // 哈希表容量
    double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio;                // 扩容倍数
    vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组

  public:
    /* 构造方法 */
    HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3.0), extendRatio(2) {
        buckets.resize(capacity);
    }

    /* 析构方法 */
    ~HashMapChaining() {
        for (auto &bucket : buckets) {
            for (Pair *pair : bucket) {
                // 释放内存
                delete pair;
            }
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return (double)size / (double)capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                return pair->val;
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回空字符串
        return "";
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                pair->val = val;
                return;
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        buckets[index].push_back(new Pair(key, val));
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        auto &bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
            if (bucket[i]->key == key) {
                Pair *tmp = bucket[i];
                bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对
                delete tmp;                       // 释放内存
                size--;
                return;
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets.clear();
        buckets.resize(capacity);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (auto &bucket : bucketsTmp) {
            for (Pair *pair : bucket) {
                put(pair->key, pair->val);
                // 释放内存
                delete pair;
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (auto &bucket : buckets) {
            cout << "[";
            for (Pair *pair : bucket) {
                cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";
            }
            cout << "]\n";
        }
    }
};

当链表很长时，查询效率 O(n) 很差。此时可以将链表转换为 “AVL 树” 或 “红黑树”，从而将查询操作的时间复杂度优化至 O(log n)

2.2 开放寻址

  • 开放寻址（open addressing）不引入额外的数据结构，而是通过 “多次探测” 来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等
2.2.1 线性探测

  • 线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测，其操作方法与普通哈希表有所不同

    • 插入元素
      • 通过哈希函数计算桶索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1），直至找到空桶，将元素插入其中
    • 查找元素
      • 若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可
      • 如果遇到空桶，说明目标元素不在哈希表中，返回 None

  • 下图展示了开放寻址（线性探测）哈希表的键值对分布。根据此哈希函数，最后两位相同的 key 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测，它们被依次存储在该桶以及之下的桶中

在这里插入图片描述

  • 然而，线性探测容易产生 “聚集现象”。具体来说，数组中连续被占用的位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促使该位置的聚堆生长，形成恶性循环，最终导致增删查改操作效率劣化
  • 不能在开放寻址哈希表中直接删除元素。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 None，而当查询元素时，线性探测到该空桶就会返回，因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到，程序可能误判这些元素不存在

在这里插入图片描述

  • 为了解决该问题，可以采用懒删除（lazy deletion）机制

    • 它不直接从哈希表中移除元素，而是利用一个常量 TOMBSTONE 来标记这个桶
    • 在该机制下，None 和 TOMBSTONE 都代表空桶，都可以放置键值对
    • 但不同的是，线性探测到 TOMBSTONE 时应该继续遍历，因为其之下可能还存在键值对

  • 然而，懒删除可能会加速哈希表的性能退化。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记，随着 TOMBSTONE 的增加，搜索时间也会增加，因为线性探测可能需要跳过多个 TOMBSTONE 才能找到目标元素

    • 为此，考虑在线性探测中记录遇到的首个 TOMBSTONE 的索引，并将搜索到的目标元素与该 TOMBSTONE 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时，元素会被移动至距离理想位置（探测起始点）更近的桶，从而优化查询效率

  • 以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址（线性探测）哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间，将哈希表看作是一个 “环形数组”，当越过数组尾部时，回到头部继续遍历

    /* 开放寻址哈希表 */
class HashMapOpenAddressing {
  private:
    int size;                             // 键值对数量
    int capacity = 4;                     // 哈希表容量
    const double loadThres = 2.0 / 3.0;     // 触发扩容的负载因子阈值
    const int extendRatio = 2;            // 扩容倍数
    vector<Pair *> buckets;               // 桶数组
    Pair *TOMBSTONE = new Pair(-1, "-1"); // 删除标记

  public:
    /* 构造方法 */
    HashMapOpenAddressing() : size(0), buckets(capacity, nullptr) {
    }

    /* 析构方法 */
    ~HashMapOpenAddressing() {
        for (Pair *pair : buckets) {
            if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
                delete pair;
            }
        }
        delete TOMBSTONE;
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return (double)size / capacity;
    }

    /* 搜索 key 对应的桶索引 */
    int findBucket(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        int firstTombstone = -1;
        // 线性探测，当遇到空桶时跳出
        while (buckets[index] != nullptr) {
            // 若遇到 key ，返回对应桶索引
            if (buckets[index]->key == key) {
                // 若之前遇到了删除标记，则将键值对移动至该索引
                if (firstTombstone != -1) {
                    buckets[firstTombstone] = buckets[index];
                    buckets[index] = TOMBSTONE;
                    return firstTombstone; // 返回移动后的桶索引
                }
                return index; // 返回桶索引
            }
            // 记录遇到的首个删除标记
            if (firstTombstone == -1 && buckets[index] == TOMBSTONE) {
                firstTombstone = index;
            }
            // 计算桶索引，越过尾部返回头部
            index = (index + 1) % capacity;
        }
        // 若 key 不存在，则返回添加点的索引
        return firstTombstone == -1 ? index : firstTombstone;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则返回对应 val
        if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            return buckets[index]->val;
        }
        // 若键值对不存在，则返回空字符串
        return "";
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则覆盖 val 并返回
        if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            buckets[index]->val = val;
            return;
        }
        // 若键值对不存在，则添加该键值对
        buckets[index] = new Pair(key, val);
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        // 搜索 key 对应的桶索引
        int index = findBucket(key);
        // 若找到键值对，则用删除标记覆盖它
        if (buckets[index] != nullptr && buckets[index] != TOMBSTONE) {
            delete buckets[index];
            buckets[index] = TOMBSTONE;
            size--;
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        vector<Pair *> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = vector<Pair *>(capacity, nullptr);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (Pair *pair : bucketsTmp) {
            if (pair != nullptr && pair != TOMBSTONE) {
                put(pair->key, pair->val);
                delete pair;
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (Pair *pair : buckets) {
            if (pair == nullptr) {
                cout << "nullptr" << endl;
            } else if (pair == TOMBSTONE) {
                cout << "TOMBSTONE" << endl;
            } else {
                cout << pair->key << " -> " << pair->val << endl;
            }
        }
    }
};
2.2.2 平方探测

  • 平方探测与线性探测类似，都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时，平方探测不是简单地跳过一个固定的步数，而是跳过 “探测次数的平方” 的步数，即 1, 4, 9, … 步

  • 平方探测优点

    • 平方探测通过跳过平方的距离，试图缓解线性探测的聚集效应
    • 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置，有助于数据分布得更加均匀

  • 平方探测缺点

    • 仍然存在聚集现象，即某些位置比其他位置更容易被占用
    • 由于平方的增长，平方探测可能不会探测整个哈希表，这意味着即使哈希表中有空桶，平方探测也可能无法访问到它
2.2.3 多次哈希
  • 多次哈希使用多个哈希函数 f_1(x)、f_2(x)、f_3(x)、… 进行探测
    • 插入元素
      • 若哈希函数 f_1(x) 出现冲突，则尝试 f_2(x)，以此类推，直到找到空桶后插入元素
    • 查找元素
      • 在相同的哈希函数顺序下进行查找，直到找到目标元素时返回
      • 或当遇到空桶或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中不存在该元素，则返回 None

与线性探测相比，多次哈希方法不易产生聚集，但多个哈希函数会增加额外的计算量

3. 哈希算法

无论是开放寻址还是链地址法，它们只能保证哈希表可以在发生冲突时正常工作，但无法减少哈希冲突的发生

  • 如果哈希冲突过于频繁，哈希表的性能则会急剧劣化。如下图所示，对于链地址哈希表，理想情况下键值对平均分布在各个桶中，达到最佳查询效率；最差情况下所有键值对都被存储到同一个桶中，时间复杂度退化至 O(n)

在这里插入图片描述

  • 键值对的分布情况由哈希函数决定
    index = hash(key) % capacity // 哈希函数
    • 当哈希表容量 capacity 固定时，哈希算法 hash() 决定了输出值，进而决定了键值对在哈希表中的分布情况。这意味着，为了减小哈希冲突的发生概率，应当将注意力集中在哈希算法 hash() 的设计上

3.1 哈希算法的设计

  • 加法哈希
    • 对输入的每个字符的 ASCII 码进行相加，将得到的总和作为哈希值
  • 乘法哈希
    • 利用了乘法的不相关性，每轮乘以一个常数，将各个字符的 ASCII 码累积到哈希值中
  • 异或哈希
    • 将输入数据的每个元素通过异或操作累积到一个哈希值中
  • 旋转哈希
    • 将每个字符的 ASCII 码累积到一个哈希值中，每次累积之前都会对哈希值进行旋转操作
    /* 加法哈希 */
int addHash(string key) {
    long long hash = 0;
    const int MODULUS = 1000000007;
    for (unsigned char c : key) {
        hash = (hash + (int)c) % MODULUS;
    }
    return (int)hash;
}

/* 乘法哈希 */
int mulHash(string key) {
    long long hash = 0;
    const int MODULUS = 1000000007;
    for (unsigned char c : key) {
        hash = (31 * hash + (int)c) % MODULUS;
    }
    return (int)hash;
}

/* 异或哈希 */
int xorHash(string key) {
    int hash = 0;
    const int MODULUS = 1000000007;
    for (unsigned char c : key) {
        hash ^= (int)c;
    }
    return hash & MODULUS;
}

/* 旋转哈希 */
int rotHash(string key) {
    long long hash = 0;
    const int MODULUS = 1000000007;
    for (unsigned char c : key) {
        hash = ((hash << 4) ^ (hash >> 28) ^ (int)c) % MODULUS;
    }
    return (int)hash;
}
  • 每种哈希算法的最后一步都是对大质数 1000000007 取模，以确保哈希值在合适的范围内。值得思考的是，为什么要强调对质数取模，或者说对合数取模的弊端是什么？
    • 当使用大质数作为模数时，可以最大化地保证哈希值的均匀分布。因为质数不会与其他数字存在公约数，可以减少因取模操作而产生的周期性模式，从而避免哈希冲突
    • 通常选取质数作为模数，并且这个质数最好足够大，以尽可能消除周期性模式，提升哈希算法的稳健性

3.2 常见哈希算法

上述简单哈希算法比较脆弱，比如：由于加法和异或满足交换律，因此加法哈希和异或哈希无法区分内容相同但顺序不同的字符串，这可能会加剧哈希冲突，并引起一些安全问题

  • 在实际中，通常会用一些标准哈希算法，例如 MD5、SHA-1、SHA-2、SHA3 等。它们可以将任意长度的输入数据映射到恒定长度的哈希值
    • MD5 和 SHA-1 已多次被成功攻击，因此它们被各类安全应用弃用
    • SHA-2 系列中的 SHA-256 是最安全的哈希算法之一，仍未出现成功的攻击案例，因此常被用在各类安全应用与协议中
    • SHA-3 相较 SHA-2 的实现开销更低、计算效率更高，但目前使用覆盖度不如 SHA-2 系列

在这里插入图片描述

3.3 数据结构的哈希值

  • 哈希表的 key 可以是整数、小数或字符串等数据类型。编程语言通常会为这些数据类型提供内置的哈希算法，用于计算哈希表中的桶索引

    int num = 3;
size_t hashNum = hash<int>()(num);
// 整数 3 的哈希值为 3

bool bol = true;
size_t hashBol = hash<bool>()(bol);
// 布尔量 1 的哈希值为 1

double dec = 3.14159;
size_t hashDec = hash<double>()(dec);
// 小数 3.14159 的哈希值为 4614256650576692846

string str = "Hello 算法";
size_t hashStr = hash<string>()(str);
// 字符串 Hello 算法 的哈希值为 15466937326284535026

// 在 C++ 中，内置 std:hash() 仅提供基本数据类型的哈希值计算
// 数组、对象的哈希值计算需要自行实现

  • 在许多编程语言中，只有不可变对象才可作为哈希表的 key。假如将列表（动态数组）作为 key ，当列表的内容发生变化时，它的哈希值也随之改变，就无法在哈希表中查询到原先的 value

  • 虽然自定义对象（比如链表节点）的成员变量是可变的，但它是可哈希的。这是因为对象的哈希值通常是基于内存地址生成的，即使对象的内容发生了变化，但它的内存地址不变，哈希值仍然是不变的

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