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【动态规划】【数组】【2023-10-04】
题目来源
188. 买卖股票的最佳时机 IV
题目解读
本题与 121. 买卖股票的最佳时机、122. 买卖股票的最佳时机 II、123. 买卖股票的最佳时机 III 题意目的一致，都是为了获得买卖股票的最大利润。本题不同的是，最多可以买卖股票 k 次。
解题思路
方法一：动态规划
首先来看一下 k，虽然给定了最多可以买卖 k 次，但是 n 天做多可以买卖
⌊
n
2
⌋
\lfloor \frac{n}{2} \rfloor
⌊2n⌋ 次，因此需要更新
k
=
m
i
n
(
k
,
⌊
n
2
⌋
)
k = min(k, \lfloor \frac{n}{2} \rfloor)
k=min(k,⌊2n⌋)。
状态
122. 买卖股票的最佳时机 II 中最多允许进行两次股票的买卖，我们主要有四种状态，分别是第一次买、第一次卖，第二次买和第二次卖。在本题中最多有 k 次股票的买卖就有 k * 2 次的状态，我们可以使用数组来维护。
b
u
y
[
i
]
buy[i]
buy[i] 表示第 i 次买股票，
s
e
l
l
[
i
]
sell[i]
sell[i] 表示第 i 次卖股票。
状态转移
我们的第 i 次买股票手中剩余的最大钱数（也就是最大利润）
b
u
y
[
i
]
=
m
a
x
(
b
u
y
[
i
]
,
s
e
l
l
[
i
−
1
]
−
p
r
i
c
e
s
[
i
]
)
buy[i] = max(buy[i], sell[i-1] - prices[i])
buy[i]=max(buy[i],sell[i−1]−prices[i])。
同理， s e l l [ i ] = m a x ( s e l l [ i ] , b u y [ i − 1 ] + p r i c e s [ i ] ) sell[i] = max(sell[i], buy[i-1] + prices[i]) sell[i]=max(sell[i],buy[i−1]+prices[i])。
base case
第 i 次买，我们都初始为 int 类型的最小值，因为买股票手中的钱可能出现负数。为了防止溢出，选择初始化为 INT_MIN / 2。
第 i 次卖股票，我们初始化为 0，因为不会再有比 0 小的卖股票收益了。
最后返回
最后返回 sell.back() 即 sell 数组的最后一个值，即使最大值是 sell 数组中的某一个值，也会因为我们在转移时允许在同一天买入并且卖出这一宽松的条件，最终最大值也是转移到 sell 数组的最后一个值（具体可参考 解题思路中的 最后返回 部分）。
实现代码
class Solution {
public:
int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
int n = prices.size();
k = min(k, n / 2);
vector<int> buy(k+1, INT_MIN / 2); // 防止 sell[i-1] - p 溢出
vector<int> sell(k+1, 0);
for (int p : prices) {
for (int i = 1; i <= k; ++i) {
buy[i] = max(buy[i], sell[i-1] - p);
sell[i] = max(sell[i], buy[i] + p);
}
}
return sell.back();
}
};
复杂度分析
时间复杂度：
O
(
n
m
i
n
(
n
,
k
)
)
O(n \ min(n, k))
O(n min(n,k))，
n
n
n 是数组 prices 的大小。
空间复杂度：
O
(
m
i
n
(
n
,
k
)
)
O(min(n, k))
O(min(n,k))，使用的额外空间为数组 buy、sell 占用的空间。
写在最后
买卖股票系列题目
| 题目 | 解答 |
|---|---|
| 121. 买卖股票的最佳时机 | 【面试经典150】买卖股票的最佳时机 |
| 122. 买卖股票的最佳时机 II | 【面试经典150】买卖股票的最佳时机 II |
| 123. 买卖股票的最佳时机 III | 【每日一题】买卖股票的最佳时机 III |
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