复变函数的积分化解成曲线积分的问题。

那化成第一类曲线积分还是第二类曲线积分？（高等数学 中有讲第一类曲线积分和第二类曲线积分）。

路径是有方向的，由起点和终点不同，路径有正向和负向。

复变函数的积分归结起来实际上是第二类曲线积分。

先对其做一个定义。

1、有向曲线。2。有向闭曲线。

 2、假设一个复变函数 在区域D内，C为D内起点为A，终点为B的一条光滑的有向曲线。（参数方程可导).

曲线C要分成4个步骤。

1、分割 

将曲结C分割 ，起点

在曲线中插入N个分点。

2、进行近似。

在每一个小的分段上，任给一个，属于的弧段。

3、求和（跟积分的定义完全一致）

从上图找一个点代到上面的公式中。

的差值 ，长度

4、求极限。

记为

称为f(z)沿着曲线C的积分。和第二类曲线积分非常类似。

若C为闭曲线，记为

注意，

1.如果 在复域上的曲线C落在实轴上，如图。

曲线   a<x<b,

那么

2.(实部和虚部)

代入第三步的公式中。

  ,(也是复数)

实部和虚部分开。

其实就是如下的

对于曲线上的复变函数的积分，可以把它理解为是第二类曲线积分。

积分存在定理：如果 在D内处处连续，则积分存在。

积分与路径无关。

苛西古萨定理

如果 f(z)在单连通区域B内处处解析，沿着B内的任一条封闭曲线C，积分值 为0，

.

C为B的边界，f(z)在B内与C上解析，则