6.3 许尔估计

任意方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ ，全体根 λ ( A ) = { λ 1 , ⋯   , λ n } \lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\} λ(A)={λ1​,⋯,λn​} ，满足 $|{\lambda }_1{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2\le \sum |a_{ij}{|}^2$

• 若 $|{\lambda }_1{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2=\sum |a_{ij}{|}^2$ ，则A为正规阵

证明
$$\begin{array}{rl}& 用许尔公式，存在U阵Q，使Q^{H}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & \ast \\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)为上三角\\ & \Rightarrow Q^H{A}^{H}Q=D^H,\therefore Q^H{A}^{H}AQ=Q^H{A}^{H}Q{Q}^{H}AQ=D^{H}D\\ & 由于Q是U阵，则Q^{-1}=Q^H,则Q^{-1}{A}^{H}AQ=D^{H}D,即A^{H}A相似于D^{H}D\\ & 故tr(A^{H}A)=tr(D^{H}D)\\ & 而tr(A^{H}A)=\sum _{i=0,j=0}^n|a_{ij}{|}^2,D^{H}D=\left(\begin{array}{ccc}\overline{{\lambda }_1}& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \overline{\ast }& \cdots & \overline{{\lambda }_n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & \ast \\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)\\ & 故tr(D^{H}D)=\overline{{\lambda }_1}{\lambda }_1+\cdots +\overline{{\lambda }_n}{\lambda }_n+\overline{\ast }\ast =\sum _{k=0}^n|{\lambda }_k{|}^2+\sum |\ast {|}^2\\ & \Rightarrow \sum _{i=0,j=0}^n|a_{ij}{|}^2=\sum _{k=0}^n|{\lambda }_k{|}^2+\sum |\ast {|}^2\ge \sum _{k=0}^n|{\lambda }_k{|}^2\\ & ----\\ & 当=成立时，有\sum |\ast {|}^2=0，故Q^{H}AQ=D=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & {\lambda }_n\end{array}\right)为对角阵（正规阵），\\ & 则A为正规阵\end{array}$$

eg

$$\begin{array}{rl}& |\lambda I-A|={\lambda }^3-a_1{a}_2{a}_3=0\Rightarrow \lambda =\sqrt[3]{a_1{a}_2{a}_3},\sum |\lambda {|}^2=3(a_1{a}_2{a}_3{)}^{\frac{2}{3}}\\ & \sum |a_{ij}|=a_1^2+a_2^2+a_3^2,由许尔估计，\sum |a_{ij}|\ge \sum |\lambda {|}^2\\ & 当且仅当a_1=a_2=a_3时，有\sum |a_{ij}|=\sum |\lambda {|}^2,即A为正规阵\end{array}$$

---

$$\begin{array}{rl}& |\lambda I-A|={\lambda }^n-(-1{)}^n\prod _{i=1}^n{a}_i=0,{\lambda }_i=-\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{a}_i}，\\ & \therefore 有许尔估计\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2=n(\prod _{i=1}^n{a}_i{)}^{\frac{2}{n}}\le \sum _{i=1}^n{a}_i^2\\ & 当且仅当a_1=\cdots =a_n时，满足A^{H}A=A{A}^H,A为正规阵\end{array}$$

6.4 谱(特征值)估计

6.4.1 盖尔圆定理1：A的全体特征根被 n个Ger圆盖住

a. Ger圆盘

n 阶方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的第i个Ger半径为 $R_i=\sum _{i=1,j\ne i}^n|a_{ij}|=|a_{i1}|+\cdots +|a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+\cdots +|a_{in}|$ ,规定第i个Ger圆为 G i = { Z ∣ ∣ Z − a i i ∣ ≤ R i } , Z ∈ C , i = 1 , 2 , ⋯   , n G_i=\{Z\mid \vert Z-a_{ii}\vert\le R_i\},Z\in C,i=1,2,\cdots,n Gi​={Z∣∣Z−aii​∣≤Ri​},Z∈C,i=1,2,⋯,n

b. 圆盘定理

方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的全体特征根都在A的n个Ger圆盘并集内，即 λ ( A ) = { λ 1 , ⋯   , λ n } ⊂ G 1 ∪ G 2 ∪ ⋯ ∪ G n = ⋃ i = 1 n G i = Δ G ( A ) \lambda(A)=\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\subset G_1\cup G_2\cup\cdots\cup G_n=\bigcup_{i=1}^{n}\limits G_i \overset{\Delta}{=}G(A) λ(A)={λ1​,⋯,λn​}⊂G1​∪G2​∪⋯∪Gn​=i=1⋃n​Gi​=ΔG(A)

即 Ger 圆盘并集 $G(A)$ 覆盖了全体特征根 $\lambda (A)\subset G(A)$ ，A的全体特征根被 n个Ger圆盖住

eg

Ger圆为 $\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-1|\le R_1=0.2+0.5+0.3=1\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-(-2)|\le R_2=0.6+1+0.2=1.8\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-(3)|\le R_3=0.3+0.4+0.7=1.4\\ & G_4:|Z-a_{44}|=|Z-(-5)|\le R_4=0.2+0.3+0.3=0.8\end{array}$

$\lambda (A)\subset G_1\cup G_2\cup G_3\cup G_4$

6.4.2 圆盘定理2：连通分支

若A的k个 Ger 圆相连（相切），且与其他 $n-k$ 个圆分离，称此 $k$ 个圆的并集为一个连通分支，简称分支

• 一个孤立圆盘是一个分支

设D是A的k个 Ger圆构成的分支，则D中恰有k个特征值（含重复）

如上述 $G_1$ 和 $G_3$ 为一个连通分支 ，$G_2$ 、$G_4$ 分别为一个分支，且A至少有2个实特征根

• 独立圆盘必定包含一个实根，虚根必然成对出现在同一连通分支

eg

$$\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-9|\le R_1=1+2+1=4\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-8|\le R_2=1+1=2\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-4|\le R_3=1\\ & G_4:|Z-a_{44}|=|Z-1|\le R_4=1\end{array}$$

$G_4$ 为一个分支 $D_1$，$G_3、G_2、G_1$ 为一个分支 $D_2$。 由于虚根是成对出现的，且 $D_1$ 中只有一个特根，$D_2$ 中有3个特根，故 $D_1$ 中的特根一定是实根，$D_2$ 至少有一个实根

$$\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-20|\le R_1=5.3\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-10|\le R_2=4.5\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-10i|\le R_3=6\end{array}$$

---

6.4.3 许尔圆盘推论

a. 原点不在圆盘内，则A可逆

对方阵 A，若原点 $0\notin G(A)$ ,即 $0$ 在n个Ger圆之外，则A为可逆阵

$$\begin{array}{rl}& 反证：\\ & 若0\notin G(A),且A不可逆，则|A|=\prod _{i=0}^n{\lambda }_i=0,即0\in \lambda (A),故0\in \bigcup _{i=0}^n{G}_i，矛盾\\ & 故方阵A，若原点0\notin G(A)，则A可逆\end{array}$$

b. 对角占优阵一定可逆

若 $A=(a_{ij}{)}_{n,n}$ 为行对角占优阵，则A可逆

若 $A=(a_{ij}{)}_{n,n}$ 为列对角占优阵，则A可逆

c. k个分离Ger圆，则有k个不同根

若 $A\in C^{n\times n}$ 的n个Ger圆中有k个独立的Ger圆，则A至少有k个互异特征根

• 若A的n个Ger圆互相分离（都是孤立圆），则A是单阵（可对角化）

若实对称阵 $A\in C^{n\times n}$ 的n个Ger圆中有k个独立的Ger圆，则A至少有k个互异实特征根
$$\begin{gathered} A的n个Ger圆圆心都在实轴上，故每个孤立Ger圆中只能有一个特征值 \\ 实对称阵A若有复根，必共轭出现，故Ger圆中的特征值必为实特征值 \end{gathered}$$
eg

$$\begin{array}{rl}& R_1=R_2=R_3=\frac{3}{4},，3个Ger圆为|Z-3|\le \frac{3}{4},|Z-1|\le \frac{3}{4},|Z-5|\le \frac{3}{4}\end{array}$$

可见3个Ger圆中心在x轴上，都是独立的圆，故A有3个不同特根，A为单阵

且 $\lambda \ge 1-\frac{3}{4},{\lambda }_2\ge 3-\frac{3}{4},{\lambda }_3\ge 5-\frac{3}{4},\Rightarrow |A|\ge \frac{1}{4}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{17}{4}=\frac{9\times 17}{64}$

d. $A$ 与 $A^T$ 的Ger圆

由于A与 $A^T$ 有相同特征值，$\lambda (A)=\lambda (A^T)$，可用 A的Ger半径代替 $A^T的Ger半径$

A的列圆盘定理：A的列圆盘为 G p ′ = { Z ∣ ∣ Z − a p p ∣ ≤ R p ~ } , p = 1 , 2 , ⋯   , n G_p'=\{Z|\vert Z-a_{pp}\vert\le \widetilde{R_p}\},p=1,2,\cdots,n Gp′​={Z∣∣Z−app​∣≤Rp​ ​},p=1,2,⋯,n ，其中 $\widetilde{R_p}=|a_{1p}|+\cdots +|a_{p-1p}|+|a_{p+1p}|+\cdots +|a_{np}|$ 为列半径

对于 $A^T$ 的Ger圆 $G_1^{\prime },G_2^{\prime },\cdots ,G_n^{\prime }$ 与 $A$ 的Ger圆 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$ 有相同的圆心，故特征值 ${\lambda }_i\in (\bigcup _{i=1}^n{G}_i)\bigcap (\bigcup _{i=1}^n{G}_i^{\prime }),1\le i\le n$