一、引言

主成分分析法是用降维的思想，用几个互不相关的主成分反映原始变量的大部分信息的统计方法。能有效降低数据维度，减少计算量，在涉及到数理统计的各个领域均有广泛的应用。本文先介绍主成分分析的原理，再通过 matlab 用主成分分析法对图像进行压缩，实现主成分在图像处理中的应用。

二、主成分分析法概念及性质

2.1 概念

假定有n个样本，每个样本由p个变量构成，则可以组成一个 n×p 阶的数据矩阵：

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设 x1，x2，…，xP 为原变量，z1，z2，…，zm（m≤p）为新变量，则：

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系数为新变量对原变量的反应情况。

2.2 性质

zi 与zk（i≠k；i，k＝1，2，…，m；j＝1，2，…，p）相互无关；z1 是 x1，x2，…，xP 的一切线性组合中方差最大者，z2是与 z1 不相关的 x1，x2，…，xP 的所有线性组合中方差最大者；zm 是与 z1，z2，……，zm－1都不相关的 x1，x2，…xP 的所有线性组合中方差最大者。则新变量指标 z1，z2，…，zm 分别称为原变量指标 x1，x2，…，xP 的第1，第 2，…，第 m 主成分。

通过以上表述可知，主成分分析的实质是计算主成分 zi（i＝1，2，…，m）所反映的原变量 xj（j＝1，2，…，p）上的荷载 lij（i＝1，2，…，m；j＝1，2，…，p）。它们分别是相关矩阵（也就是 x1，x2，…，xP 的相关系数矩阵）m 个较大的特征值所对应的特征向量。

三、计算步骤

3.1 计算相关系数矩阵

3.2 计算特征值与特征向量

解特征方程|λI－R|=0，求出特征值，并使其按大小顺序排列 λ1≥λ2≥…≥λp≥0；分别求出对应于特征值 λi 的特征向量 ei（i=1,2，…，p），要求‖ei‖=1，即，其中，eij 表示向量 ei 的第 j 个分量,也就是说 ei 为单位向量。

3.3 计算主成分贡献率及累计贡献率

主成分贡献率为：

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主成分累计贡献率为：

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一般取累计贡献率达 85%～95%的特征值 λ1，λ2，…，λm 所对应的第 1、第 2、…、第 m（m≤p）个主成分。

3.4 计算主成分载荷

，主成分载荷就是zi与xj之间的相关系数（主成分不相关）。

3.5 各主成分的得分

各主成分的得分为：

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四、图像压缩与重建实验分析

众所周知，图像信息所含的数据量巨大。为了便于图像的存储，提高存储效率，研究图像压缩具有重要的意义。图像压缩的目的是减少数据存储量，便于存储和传输。黑白图像每个像素点由不同的灰度值来表示，相邻灰度值之间具有一定相关性，这为采用主成分分析法去研究图像相关性提供了一定可实践的条件。因此，我们将图像分割成很多子块，将子块作为样本，假设图像数组大小为 128×288，子块大小为 8×4，I 可以划分成（128/8）×（288/4）＝1152 个子块，每个样本包含 8×4＝32 个元素。将 1152个样本按列组装成 1152×32 的矩阵，每行对应一个子块，每列对应不同子块同一位置的像素。由于像素之间具有相关性，1152×32 矩阵列与列间也存在相关性，因此能用主成分分析实现降维，进而实现图像压缩。

通过 matlab 编程，设置主成分个数为1，14，27，40来观测不同主成分个数对图像压缩与重构效果，如图1所示。

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图1 不同主成分参数下的图像压缩与重构效果

由试验结果得知，主成分个数越多，压缩效果越差，但是图像信息损失相应的也减少。我们可以根据实际需求设置主成分个数，实现不同的压缩效果。

五、参考文献

［1］曲双红，李华，李刚.基于主成分分析的几种常用改进方法［J］.统计与决策，2011（05）：155-156.
［2］亓文永，叶心太.应用于图像特征识别的主成分分析算法［J］.科技信息（科学教研），2008（22）：19，30.
［3］刘涛，杨风暴.主成分分析在图像压缩中的应用［J］.哈尔滨师范大学自然科学学报，2008（04）：69-72.
［4］陈洁文，陈勇，林海明.主成分分析应用中应注意的问题［J］.统计与决策，2009（08）：140-141.