文章目录
- 基于游戏的安全性定义
- 归约中的概率关系
- 某事件发生
- 某事件不发生
- 互斥事件
基于游戏的安全性定义
在将攻击
Γ
\Gamma
Γ 的算法
A
′
A'
A′ 归约到攻击
Π
\Pi
Π 的算法
A
A
A 时，
- 让 A ′ A' A′ 根据 C h Γ Ch_\Gamma ChΓ 提供的信息，为 A A A 模拟出同分布的 C h Π Ch_\Pi ChΠ，
- 然后 A ′ A' A′ 根据 A A A 针对 C h Π Ch_\Pi ChΠ 的输出，计算出针对 C h Γ Ch_\Gamma ChΓ 的输出。
归约中的概率关系
某事件发生
归约过程中，
A
′
A'
A′ 归约到
A
A
A，两算法
A
,
A
′
A,A'
A,A′ 的成功概率关系式为：
P
r
[
A
′
=
1
]
=
P
r
[
A
=
1
∧
E
]
Pr[A'=1] = Pr[A=1 \wedge E]
Pr[A′=1]=Pr[A=1∧E]
其中
E
E
E 是 guess 事件，与事件
A
=
1
A=1
A=1 相互独立。
对于事件
A
,
B
A,B
A,B，由于相互独立，因此
P
r
[
A
,
B
]
=
P
r
[
A
,
B
]
=
P
r
[
A
]
⋅
P
r
[
B
]
\begin{aligned} Pr[A, B] &= Pr[A,B]=Pr[A] \cdot Pr[B]\\ \end{aligned}
Pr[A,B]=Pr[A,B]=Pr[A]⋅Pr[B]
类似的，
P
r
[
A
∧
B
1
∧
⋯
∧
B
t
]
=
P
r
[
A
]
⋅
P
r
[
B
1
∧
⋯
∧
B
t
]
\begin{aligned} Pr[A \wedge B_1 \wedge \cdots \wedge B_t] &= Pr[A] \cdot Pr[B_1 \wedge \cdots \wedge B_t]\\ \end{aligned}
Pr[A∧B1∧⋯∧Bt]=Pr[A]⋅Pr[B1∧⋯∧Bt]
假设
- 算法 A A A 的成功率 P r [ A = 1 ] ≥ 1 / p 1 ( n ) Pr[A=1] \ge 1/p_1(n) Pr[A=1]≥1/p1(n) 不可忽略，
- 同时 P r [ E ] = 1 / p 2 ( x ) Pr[E] = 1/p_2(x) Pr[E]=1/p2(x) 是多项式的，
那么算法
A
′
A'
A′ 的成功率也不可忽略，
P
r
[
A
′
=
1
]
≥
1
p
1
(
n
)
p
2
(
n
)
Pr[A'=1] \ge \frac{1}{p_1(n)p_2(n)}
Pr[A′=1]≥p1(n)p2(n)1
某事件不发生
归约过程中，
A
′
A'
A′ 归约到
A
A
A，两算法
A
,
A
′
A,A'
A,A′ 的成功概率关系式为：
P
r
[
A
′
=
1
]
=
P
r
[
A
=
1
∧
E
‾
]
Pr[A'=1] = Pr[A=1 \wedge \overline E]
Pr[A′=1]=Pr[A=1∧E]
其中 E E E 是 abort / stop 事件。
对于事件
A
,
B
A,B
A,B，由于
1
=
P
r
[
A
,
B
]
+
P
r
[
A
,
B
‾
]
+
P
r
[
A
‾
,
B
]
+
P
r
[
A
‾
,
B
‾
]
1 = Pr[A,B] + Pr[A,\overline B] + Pr[\overline A,B] + Pr[\overline A,\overline B]
1=Pr[A,B]+Pr[A,B]+Pr[A,B]+Pr[A,B]，因此
P
r
[
A
,
B
‾
]
=
P
r
[
A
]
−
P
r
[
B
]
+
P
r
[
A
‾
,
B
]
≥
P
r
[
A
]
−
P
r
[
B
]
\begin{aligned} Pr[A,\overline B] &= Pr[A] - Pr[B] + Pr[\overline A,B] \\ &\ge Pr[A] - Pr[B] \end{aligned}
Pr[A,B]=Pr[A]−Pr[B]+Pr[A,B]≥Pr[A]−Pr[B]
类似的，
P
r
[
A
∧
B
‾
1
∧
⋯
∧
B
‾
t
]
=
P
r
[
A
]
−
P
r
[
B
‾
1
∧
⋯
∧
B
‾
t
‾
]
+
P
r
[
A
‾
∧
B
‾
1
∧
⋯
∧
B
‾
t
‾
]
≥
P
r
[
A
]
−
P
r
[
B
‾
1
∧
⋯
∧
B
‾
t
‾
]
=
P
r
[
A
]
−
P
r
[
B
1
∨
⋯
∨
B
t
]
≥
P
r
[
A
]
−
∑
i
=
1
t
P
r
[
B
i
]
\begin{aligned} Pr[A \wedge \overline B_1 \wedge \cdots \wedge \overline B_t] &= Pr[A] - Pr[\overline{\overline B_1 \wedge \cdots \wedge \overline B_t}] + Pr[\overline A \wedge \overline{\overline B_1 \wedge \cdots \wedge \overline B_t}] \\ &\ge Pr[A] - Pr[\overline{\overline B_1 \wedge \cdots \wedge \overline B_t}]\\ &= Pr[A] - Pr[B_1 \vee \cdots \vee B_t]\\ &\ge Pr[A] - \sum_{i=1}^t Pr[B_i] \end{aligned}
Pr[A∧B1∧⋯∧Bt]=Pr[A]−Pr[B1∧⋯∧Bt]+Pr[A∧B1∧⋯∧Bt]≥Pr[A]−Pr[B1∧⋯∧Bt]=Pr[A]−Pr[B1∨⋯∨Bt]≥Pr[A]−i=1∑tPr[Bi]
假设
- 算法 A A A 的成功率 P r [ A = 1 ] ≥ 1 / p 1 ( n ) Pr[A=1] \ge 1/p_1(n) Pr[A=1]≥1/p1(n) 不可忽略，
- 同时 E E E 发生的概率足够小，即 1 / p 1 ( n ) − P r [ E ] ≥ 1 / p 2 ( x ) 1/p_1(n) - Pr[E] \ge 1/p_2(x) 1/p1(n)−Pr[E]≥1/p2(x)，一般地 P r [ E ] = n e g l ( n ) Pr[E]=negl(n) Pr[E]=negl(n)
那么算法
A
′
A'
A′ 的成功率也不可忽略，
P
r
[
A
′
=
1
]
≥
P
r
[
A
]
−
P
r
[
E
]
≥
1
/
p
1
(
n
)
−
n
e
g
l
(
n
)
Pr[A'=1] \ge Pr[A] - Pr[E] \ge 1/p_1(n) - negl(n)
Pr[A′=1]≥Pr[A]−Pr[E]≥1/p1(n)−negl(n)
互斥事件
归约过程中， A 1 ′ A_1' A1′ 归约到 A A A，且 A 2 ′ A_2' A2′ 归约到 A A A
算法
A
,
A
1
′
A,A'_1
A,A1′ 的成功概率关系式为：
P
r
[
A
1
′
=
1
]
=
P
r
[
A
=
1
∧
E
‾
]
Pr[A'_1=1] = Pr[A=1 \wedge \overline E]
Pr[A1′=1]=Pr[A=1∧E]
算法
A
,
A
2
′
A,A'_2
A,A2′ 的成功概率关系式为：
P
r
[
A
2
′
=
1
]
=
P
r
[
E
]
Pr[A'_2=1] = Pr[E]
Pr[A2′=1]=Pr[E]
其中
E
E
E 是 if-else 事件，它使得
A
1
′
=
1
,
A
2
′
=
1
A_1'=1,A_2'=1
A1′=1,A2′=1 不会同时发生。
由于
P
r
[
A
=
1
]
=
P
r
[
A
=
1
∧
E
‾
]
+
P
r
[
A
=
1
∧
E
]
=
P
r
[
A
1
′
=
1
]
+
P
r
[
A
=
1
∧
E
]
≤
P
r
[
A
1
′
=
1
]
+
P
r
[
E
]
=
P
r
[
A
1
′
=
1
]
+
P
r
[
A
2
′
=
1
]
\begin{aligned} Pr[A=1] &= Pr[A=1 \wedge \overline E] + Pr[A=1 \wedge E]\\ &= Pr[A_1'=1] + Pr[A=1 \wedge E]\\ &\le Pr[A_1'=1] + Pr[E]\\ & = Pr[A_1'=1] + Pr[A_2'=1]\\ \end{aligned}
Pr[A=1]=Pr[A=1∧E]+Pr[A=1∧E]=Pr[A1′=1]+Pr[A=1∧E]≤Pr[A1′=1]+Pr[E]=Pr[A1′=1]+Pr[A2′=1]
于是，
P
r
[
A
1
′
=
1
]
≥
P
r
[
A
=
1
]
−
P
r
[
A
2
′
=
1
]
Pr[A_1'=1] \ge Pr[A=1] - Pr[A_2'=1]
Pr[A1′=1]≥Pr[A=1]−Pr[A2′=1]
如果算法
A
A
A 的成功率
P
r
[
A
=
1
]
≥
1
/
p
o
l
y
(
n
)
Pr[A=1] \ge 1/poly(n)
Pr[A=1]≥1/poly(n) 不可忽略，
- 要么 P r [ A 2 ′ = 1 ] ≥ 1 / p o l y ( n ) Pr[A_2'=1] \ge 1/poly(n) Pr[A2′=1]≥1/poly(n)， A 2 ′ A_2' A2′ 的成功率不可忽略
- 要么 P r [ A 2 ′ = 1 ] ≤ n e g l ( n ) Pr[A_2'=1] \le negl(n) Pr[A2′=1]≤negl(n)，此时有 P r [ A 1 ′ = 1 ] ≥ P r [ A = 1 ] − n e g l ( n ) Pr[A_1'=1] \ge Pr[A=1] - negl(n) Pr[A1′=1]≥Pr[A=1]−negl(n)， A 1 ′ A'_1 A1′ 的成功率不可忽略
