第九章动态规划 part11 123. 买卖股票的最佳时机III 188. 买卖股票的最佳时机IV

news2024/11/24 8:45:20

第五十天| 第九章动态规划 part11 123. 买卖股票的最佳时机III 188. 买卖股票的最佳时机IV

一、123. 买卖股票的最佳时机III==（难难难难难）==

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/

题目介绍：

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成两笔交易。

**注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

思路：

注意：本题是最多买卖两次股票

DP五部曲：

（1）确定dp数组及下标含义：

一天一共就有五个状态，
1. 没有操作（其实我们也可以不设置这个状态）
2. 第一次持有股票
3. 第一次不持有股票
4. 第二次持有股票
5. 第二次不持有股票

dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。

五个状态分别如下：

dp[i][0]: 表示第i天，不操作股票的时候，手中的最大金额(也就是0)
dp[i][1]: 表示第i天，第一次持有该股票，手中的最大金额
dp[i][2]: 表示第i天，第一次不持有该股票，手中的最大金额
dp[i][3]: 表示第i天，第二次持有该股票，手中的最大金额
dp[i][4]: 表示第i天，第二次不持有该股票，手中最大的金额

（2）确定递推公式：

和I、II一样的思路

dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);

（3）初始化dp数组：

dp[0][0] = 0;
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][2] = 0;
dp[0][3] = -prices[0];
dp[0][4] = 0;

分别表示的含义是：
（1）dp[0][0]：第0天，没有任何操作手里的金额是0
（2）dp[0][1]：第0天，第一次持有股票，手里的金额就是买第0天的股票花掉的
（3）dp[0][2]：第0天，第一次不持有股票，手里的金额就是买完再卖了第0天的股票，也就是0
（4）dp[0][3]：为什么会出现第二次持有呢？可以当作第一天买了又卖了，然后再买
（5）dp[0][4]：同理。

（4）确定遍历顺序：
- 正序
（5）打印dp数组：

代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        // (1)确定dp数组及下标含义
        // dp[i][0]: 表示第i天，不操作股票的时候，手中的最大金额(也就是0)
        // dp[i][1]: 表示第i天，第一次持有该股票，手中的最大金额
        // dp[i][2]: 表示第i天，第一次不持有该股票，手中的最大金额
        // dp[i][3]: 表示第i天，第二次持有该股票，手中的最大金额
        // dp[i][4]: 表示第i天，第二次不持有该股票，手中最大的金额
        int[][] dp = new int[prices.length][5];
        // (3)初始化dp数组
        dp[0][1] = -prices[0];
        dp[0][3] = -prices[0];
        // (4)确定遍历顺序
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            // (2)确定递推公式
            dp[i][1] = Math.max(dp[i-1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);
            dp[i][2] = Math.max(dp[i-1][2], dp[i-1][1]+prices[i]);
            dp[i][3] = Math.max(dp[i-1][3], dp[i-1][2]-prices[i]);
            dp[i][4] = Math.max(dp[i-1][4], dp[i-1][3]+prices[i]);
        }
        return dp[prices.length-1][4];
    }
}

注意：
- 这里的返回值再强调一下：
  - 首先众所周知，你不持有股票手里的金额一定是大于持有股票的，所以返回的状态一定是偶数状态。
  - 那为什么不返回状态2呢？
    - 是因为状态4其实是包含了状态2的，因为如果状态2达到最大值，状态4一定会保持这个最大值的。因此直接返回状态4即可。

二、188. 买卖股票的最佳时机IV

题目链接：https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/
题目介绍：
- 给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
  
  设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
  
  **注意：**你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
  
  示例 1：
```
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
```
思路：
- 注意：本题是最多买卖k次股票
- 根据上道题可以推算出本题，只需要把握一些关键的边界点即可
  - （1）dp数组的初始化长度：2k+1
  - （2）初始化dp数组：奇数状态初始为-prices[0]，边界是< 2 * k
  - （3）递推公式：需要一个j表示状态，j从0开始，每次循环+2，因此到最后一位2k时，j=2k-2。因此j的边界是：j < 2k - 1;
代码：

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length == 0) return 0;
        int[][] dp = new int[prices.length][2*k+1];
        for (int i = 1; i < 2*k; i += 2) {
            dp[0][i] = -prices[0];
        }
        for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
            for (int j = 0; j < 2*k-1; j += 2) {
                dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i-1][j+1], dp[i-1][j] - prices[i]);
                dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i-1][j+2], dp[i-1][j+1] + prices[i]);
            }
        }
        return dp[prices.length - 1][2*k];
    }
}