power(a)	$p(x)=a{x}^{a-1}$	幂分布
pareto(a)	$p(x)=\frac{a{m}^a}{x^{a+1}}$	帕累托分布
zipf(a)	$p(k)=\frac{k^{-a}}{\zeta (a)}$	齐普夫分布

幂分布

幂分布的形式是非常简单的，其概率密度函数为$p(x)=a{x}^{a-1}$，当$a$取值不同时，其分布可由下列代码绘制

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import power

for a in [0.5, 1, 2]:
    xs = power(a, size=20000)
    plt.hist(xs, bins=100, alpha=0.5, label=f"a={a}")

plt.legend()
plt.show()

当$a=1$时，幂分布的概率分布函数变为$p(x)=1$，此即均匀分布；当$a<1$时，为上图中蓝色部分，表现出明显的长尾特性。

幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。

统计物理学家习惯于把服从幂律分布的现象称为无标度现象,即,系统中个体的尺度相差悬殊,缺乏一个优选的规模。可以说,凡有生命的地方,有进化,有竞争的地方都会出现不同程度的无标度现象。

在Python中，除了幂分布之外，还提供了另外两种幂分布，记帕累托分布和奇普夫分布。

帕累托分布

帕累托在1906年提出了有关意大利社会财富分配的分配规律，即20%的人口掌握了80%的财富，这个规律后来被发现十分普遍，以至于约瑟夫·朱兰后来将其称为帕累托法则，也被成为八二法则。

帕累托分布正是对这一规则的描述，其概率分布函数为

$$p(x)=(\frac{m}{x}{)}^a$$

在Numpy中，pareto函数仅有参数a，m作为尺度参数，可直接乘在分布函数外面。

from numpy.random import pareto
xs = pareto(20, size=20000)
plt.hist(xs, bins=200)
plt.show()

其分布为

Zipf分布

美国学者Zipf在研究词频的时候发现，如果统计一篇较长文章中的词频，并将词频按照高低从前向后依次排列，将频次最高的词记为1、次高的词记为2，依次类推，最后使用频率最低的词为N。若用f表示频次，r表示等级序号，则fr是常数，此即Zipf定律。

相应地，Zipf分布的概率密度函数为$p(k)=\frac{k^{-a}}{\zeta (a)}$，其中$\zeta$具体形式为${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i^a}$。

但在numpy.random中，$n\to \infty$，此时$\zeta (a)$记为黎曼函数，而zipf函数也只剩下了一个参数a。

from numpy.random import zipf

xs = zipf(3.5, size=20000)
plt.hist(xs, bins=30, range=(0,30))
plt.show()

由于zipf分布和帕累托分布一样，大部分聚集在分布的某一侧，所以在绘图后将其改为对数坐标，如下图所示。

如果不用对数坐标，直接绘制，那么将是下面这样