题目描述

题目链接：[LeetCode 1760]袋子里最少数目的球

给你一个整数数组 nums ，其中 nums[i] 表示第 i 个袋子里球的数目。同时给你一个整数 maxOperations 。

你可以进行如下操作至多 maxOperations 次：

• 选择任意一个袋子，并将袋子里的球分到 2 个新的袋子中，每个袋子里都有 正整数 个球。
• 比方说，一个袋子里有 5 个球，你可以把它们分到两个新袋子里，分别有 1 个和 4 个球，或者分别有 2 个和 3 个球。
  你的开销是单个袋子里球数目的 最大值 ，你想要 最小化 开销。

请你返回进行上述操作后的最小开销。

示例1

输入：nums = [9], maxOperations = 2
输出：3
解释：

• 将装有 9 个球的袋子分成装有 6 个和 3 个球的袋子。[9] -> [6,3] 。
• 将装有 6 个球的袋子分成装有 3 个和 3 个球的袋子。[6,3] -> [3,3,3] 。
  装有最多球的袋子里装有 3 个球，所以开销为 3 并返回 3 。

示例2

输入：nums = [2,4,8,2], maxOperations = 4
输出：2
解释：

• 将装有 8 个球的袋子分成装有 4 个和 4 个球的袋子。[2,4,8,2] -> [2,4,4,4,2] 。
• 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,4,4,4,2] -> [2,2,2,4,4,2] 。
• 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,4,4,2] -> [2,2,2,2,2,4,2] 。
• 将装有 4 个球的袋子分成装有 2 个和 2 个球的袋子。[2,2,2,2,2,4,2] -> [2,2,2,2,2,2,2,2] 。
  装有最多球的袋子里装有 2 个球，所以开销为 2 并返回 2 。

示例3

输入：nums = [7,17], maxOperations = 2
输出：7

提示

1 <= nums.length <= $10^5$
1 <= maxOperations, nums[i] <= $10^9$

思路分析

数据范围是$10^5$，因此控制算法的时间复杂度在O（nlogn）这个级别以下，第一时间想到的是贪心+优先队列，就每次处理最大值，发现这条路走不通，最后通过二分解决

要理解二分的核心思想：
1.具有某种性质
2.边界点

具体到这一道题，我们可以定义：
在边界点右边的所有点，它的操作次数都要小于或等于maxOperations，因为当每个袋子的开销变大，它的分割次数会变小
例如:如果开销是5，某个袋子是25，那么需要划分4次，才能让每个袋子都是5
如果开销增大，变成10，那么只需要划分2次，即[10, 10, 5]或者[8, 8, 9]

好，性质找出来了，然后第二步就是找边界点：
情况1：如果mid在区间内，如图所示，下一步，R自然要移动到R’的位置，即R = mid

情况2：如果mid不在区间内，如图所示，下一步，L移动到L’的位置，即L’=mid + 1
至于为什么L’不是变成mid，因为情况1中，边界点也是满足cnt <= maxOperations条件的，如果mid刚好等于边界点，那么R = mid - 1就会找不到边界点

而情况2中，mid不满足条件，显然它不可能是边界点，从而L’设为mid + 1

代码

class Solution {
public:
    int minimumSize(vector<int>& nums, int maxOperations) {
        int n = nums.size(), m = -1;
        //m寻找装有最大数量的球的袋子，作为右边界
        for(int i = 0; i < n; i++) m = max(m, nums[i]);
        int l = 1, r = m;
        while(l < r) {
        	//cnt记录代价为mid时，需要使用的步数
            int mid = l + r >> 1, cnt = 0;
            for(int i = 0; i < n; i++)
            	//步数为nums[i] / mid上取整 - 1
            	//例如袋子里有9个，代价为3， 只需要分9 / 3 - 1 = 2次就行
            	//袋子里有9个，代价为4, 也需要(9 / 4)上取整 - 1 = 2次
                cnt += (nums[i] + mid - 1) / mid - 1;
            //看之前的分析，就很清楚了
            if(cnt <= maxOperations) r = mid;
            else l = mid + 1; 
        }

        return l;
    }
};