Projective Geometry and Transformations of 2D

本章主要介绍本书必要的几何知识与符号。

2.1 Planar geometry

简要介绍了平面几何，本书将以代数和几何混合的方式来讲解。

2.2 The 2D projective plane

行向量与列向量 本书默认所有向量的都是列向量，比如$x$，那么$x^T$就是行向量。对于一个行向量$(x,y)$，我们就有$x=(x,y{)}^T$。

2.2.1 Points and lines

线段的齐次坐标 线是由方程$ax+by+c=0$组成的，所以我们就用$(a,b,c{)}^T$来表示线段。但是$(a,b,c{)}^T$不能唯一表示一条线段，因为$(a,b,c{)}^T$与$k(a,b,c{)}^T$表示一样的线段 ($k$不为0)。那么$k(a,b,c{)}^T$其实就是一类向量的表达。这个类中所有的向量都是其次向量。那么我们把所有的类都放在一起，就形成了投影空间。空间中有一个特殊点$(0,0,0{)}^T$，它不属于任何直线。

点的其次坐标 直线方程是$ax+by+c=0$，那么可以写成$(x,y,1)(a,b,c{)}^T$，那么这个$(x,y,1)$就是点的齐次坐标。

结论2.1 点在直线上当且仅当$x^{T}l=0$

自由度 自由度就是这个几何体可以由几个自由变化的变量来表达，比如点的自由度就是2，因为指定$x,y$就够了，线的自由度也是2，这是因为虽然线有三个变量，但是他们之间的比例是$a:b:c$。例如，在非齐次表示中，可以选择这两个参数作为直线的梯度和 y 截距。

直线的交点 两个直线$l=(a,b,c)，l^{\prime }=(a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })$，它们的交点就是$l\times l^{\prime }$。

两个点确定的直线 两个点$x,x^{\prime }$，它们所确定的直线就是$x\times x^{\prime }$。

2.2.2 Ideal points and the line at infinity

平行线的交点 如果我们考虑两个平行线的交点$ax+by+c=0，ax+by+c^{\prime }=0$, 做叉乘，我们会得到$(c^{\prime }-c)(b,-a,0{)}^T$，如果我们忽略尺度因子$(c^{\prime }-c)$，那么平行线的交点就在$(b,-a,0{)}^T$，我们再把这个齐次坐标变成非齐次，那么就得到$(b/0,-a/0{)}^T$，这点就在无穷远处，所以我们说平行线就是在无穷远处相交。

理想点与无穷远的直线 我们考虑任一个点$(x_1,x_2,x_3{)}^T$，把$x_3=0$, 那么$(x_1,x_2,0{)}^T$就是无穷远处的所有点, 这些点都落在一个直线上, 那就是$l_{\infty }=(0,0,1{)}^T$。

我们紧接着考虑任意一条直线$l=(a,b,c{)}^T$，$l$与$l_{\infty }$的交点就是$(b,-a,0{)}^T$。那么一条和$l$平行的直线$l^{\prime }$会和$l_{\infty }$也交于$(b,-a,0{)}^T$。$(b,-a)$和直线的法向量$(a,b)$是垂直的, 所以它就是直线的方向。注意$(a,b)$不是直线的方向，$(a,b)$和直线是垂直的。$(b,-a,0)$这个点在无穷远直线上，那么无穷远处的直线就可以被看做是直线方向的集合。

二维投影平面的几何模型 投影平面可以想象为三维空间中射线的集合。可以从三个射线上挑出三个点并且让他们共面，那么其他的射线都与该平面有交点。所以该平面就是由射线上的点组成的。射影平面上的线就是过原点的平面和射影平面的交点。任意两个不同射线处于同一平面上，任意两个不同的平面相较于一个射线。可以类比两直线交于一点，两点确定一条直线。

如图所示，无穷远处的理想点和直线平行于平面$x_3=1$。

线段与点的对偶性 点与线段的角色其实可以是互换的。比如说$l^{T}x=0$ 可以写成$x^{T}l=0$。

2.2.3 Conics and dual conics

圆锥描述了平面上的二次方程。欧氏几何主要三种：抛物线、双曲线、椭圆。在二维摄影几何里，这三种都是等价的。

我们首先把圆锥写成其次表达式 $x=(x_1,x_2,x_3)$

$$\left[\begin{array}{ccc}a& b/2& d/2\\ b/2& c& e/2\\ d/2& e/2& f\end{array}\right]$$

圆锥就可以写成$x^{T}Cx=0$ 圆锥有5个自由度。

五个点确定一个圆锥 我们把圆锥换一个方式写，用$x=x_1/x_3,y=x_2/x_3$，可以得到：
$$\begin{gathered} (x_i^2,x_i{y}_i,y_i^2,x_i,y_i,1)c=0 \\ c=(a,b,c,e,d,f) \end{gathered}$$

需要五个方程解出$c$,因为$c$的自由度是5。

和椭圆相切的直线 和椭圆$C$在点$x$处相切的直线$l$是$l=Cx$。

对偶圆锥 在前文中$c$定义的圆锥是点组成的圆锥。我们可以定义一个由直线组成的圆锥$c^{\ast }$，这个圆锥就是由所有和$c$相切的直线组成的。$c^{\ast }=c^{-1}$

2.3 Projective transformations

定义2.9 投影变换$h$是一个从二维投影空间到二维投影空间的变换，它满足一个性质：如果$x_1,x_2,x_3$变换前在一条直线上，当且仅当变换后的他们$(h(x_1),h(x_2),h(x_3))$还在一条直线上。

根据这个定义，投影变换也叫共线性，投影变换和单应性是同一个意思。

书中还介绍了另外一种从代数角度来定义的办法。通俗来说就是任何一个$3\times 3$的非奇异矩阵$H$都定义了一个投影变换。

从几何角度来解释, 投影变换其实定义了一个平面到平面的映射，因为我们知道，投影几何就是由平面定义的。而且投影变换保持了共线性。如果说这两个平面上的坐标系都是欧式坐标系，那么这个投影变换就变成了6个自由度的透视变换。

2.3.1 Transformations of lines and conics

一个点有如下变换$x^{\prime }=Hx$，那么线变换就是$l^{\prime }=H^{-T}l$，圆锥变换就是$x^{T}Cx=x^{\prime T}{H}^{-T}C{H}^{-1}{x}^{\prime }$，所以$C=H^{-T}C{H}^{-1}$，其对偶圆变换就是$C^{{\ast }^{\prime }}=H{C}^{\ast }{H}^T$。

2.4 A hierarchy of transformations

本节是一个重点章节，层层推广地介绍了各种变换的定义和性质。

2.4.1 Isometries刚体变换

其形式如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}ϵ\cos \theta & -\sin & t_x\\ ϵ\sin \theta & -\cos & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$
可以简写成：
$$x^{\prime }=H_{E}x=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]x$$
$R$是一个$2\times 2$的正交矩阵，整个大矩阵有3个自由度：旋转一个，平移两个。不变量是：线段长度、线段之间角度、图形的面积。

2.4.2 Similarity transformations相似变换

其形式如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}s\cos \theta & -s\sin & t_x\\ s\sin \theta & s\cos & t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$
可以简写成：
$$x^{\prime }=H_{S}x=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]x$$
整个矩阵有4个自由度：缩放因子一个，旋转一个，平移两个。不变量是：线段之间角度,、平行线还是平行的、线段之间的比例不变、因为是对整个图形进行缩放，不同区域之间的面积比也不变。

2.4.3 Affine transformations仿射变换

其形式如下：
$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ 1\end{array}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& t_x\\ a_{21}& a_{22}& t_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right)$$
可以简写成：
$$x^{\prime }=H_{A}x=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]x$$
整个矩阵有6个自由度，左上角$A$四个，平移两个。

$A$可以被分解成如下形式:
$$A=R(\theta )R(-\varphi )DR(\varphi )$$
$$\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]$$

所以$A$可以被解释为先旋转一个角度$\varphi$，再从$x,y$两个方向进行缩放，其比例因子为${\lambda }_1,{\lambda }_2$，再按$-\varphi$旋转回去，再转一个$\theta$。

由于进行了压缩，那么线段之间的角度就变了，不变量只能是保持直线之间的平行性、直线之间比例、面积的比例。

2.4.4 Projective transformations投影变换

投影变换是齐次坐标的一般非奇异线性变换，实际上是推广了仿射变换，我们之前已经看到了投影变换的作用。
其形式如下：
$$x^{\prime }=H_{P}x=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v^T& v\end{array}\right]x$$
整个大矩阵8个自由度。其不变量：直线变换以后还是直线。

2.4.5 Summary and comparison

2.4.6 Decomposition of a projective transformation

整个投影变换矩阵可以分解成三个小矩阵的乘机
$$\begin{gathered} H=H_S{H}_A{H}_P \\ =\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}K& 0\\ 0^T& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}I& 0\\ v^T& v\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}A& t\\ v^T& v\end{array}\right] \end{gathered}$$
$H_P$移动无穷远处的直线，$H_A$是一个仿射变换，$H_S$是一个广义的相似变换。

2.4.7 The number of invariants

前文我们讨论了在某某变换下，几何体有多少不变量。那么这个不变量到底怎么计算呢？我们有以下结论：

结论2.16 几何体的不变量大于等于几何体的自由度减去变换的自由度。

举个例子，空间中4个点，有8个自由度，因为每个点有2个。那么几何体的不变量就是：几何体的自由度8，减去变换的自由度。如果我们假设变换是相似变换，那么答案就是8-4=4（相似变换是4个自由度）。假设变换是仿射变换，答案就是8-6=2（仿射变换是6个自由度）。

2.5 The projective geometry of 1D

一维空间投影几何那就是点$\bar{x}=(x_1,x_2{)}^T$，其中$x_2=0$，一维空间单应矩阵就是：
$${\bar{x}}^{\prime }=H_{2\times x}\bar{x}$$
$H_{2\times 2}$有3个自由度。

The cross ratio交叉比
给定一维平面4个点, 我们定义一个cross ratio：
$$Cross(\overline{x_1},\overline{x_2},\overline{x_3},\overline{x_4})=\frac{|\overline{x_1}\overline{x_2}||\overline{x_3}\overline{x_4}|}{|\overline{x_1}\overline{x_3}||\overline{x_2}\overline{x_4}|}$$

其中
$$|\overline{x_i}\overline{x_j}|=\det \left[\begin{array}{cc}{x}_{i1}& x_{j1}\\ x_{i2}& x_{j2}\end{array}\right]$$

交叉比有这么几个性质：

1. 交叉比和用什么坐标系表示无关，因为分子和分母之间的比例相互抵消
2. 如果每个点都是有限远处的点并且$x_2=1$, 那么$|{\bar{x}}_i{\bar{x}}_j|$ 表示从 ${\bar{x}}_i$ 到 ${\bar{x}}_j$ 的有符号距离
3. 如果有一个点是理想点，交叉比也依然成立
4. 交叉比在任何投影变换下都是不变的

Concurrent lines共点线
共点线就是有共同起点的线，然后多找一条线，和所有共点线相交，这样就可以的定义交叉比了。

2.7 Recovery of affine and metric properties from images

本节主要是为了移除投影变换带来的性质丢失，把图像从投影变换恢复到相似变换，所以平行线、线段和面积的比例等等性质得以保留。

因为我们知道投影变换只比相似变换多4个自由度，那么我们只需要恢复4个自由度就好了。这4个自由度从哪里来？无穷远处的线提供2个，还有两个无穷远处的绝对点，因为在相似变换下它们是不变的。也可以叫圆锥点，因为任何一个圆锥都和无穷远处的线相交于这两点。

2.7.1 The line at infinity

在投影变换下，无穷远处的线会被投影到非无穷远处。
无穷远处的线在仿射变换下是不变的，也就是说经过仿射变换，它还在无穷远处。但是线上点的位置变了，只不过点都在无穷远处。

2.7.2 Recovery of affine properties from images

我们知道要恢复仿射性质就要找出无穷远处的线。那么我们首先明确，摄像机是一个投影变换，那么该线就会被映射到图像坐标系的某一个地方。我们先找到这个地方然后利用2.7.1的性质来建立一个方程。

假设无穷远处的线被映射到了$l=(l_1,l_2,l_3{)}^T$, 我们已知无穷远处线的坐标是$(0,0,1{)}^T$ 而且该线在仿射变换下不变，那么我们就构造一个矩阵：
$$H=H_A\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ l_1& l_2& l_3\end{array}\right]$$

$H_A$是任一个仿射变换，$H$可以把$l$变换到$(0,0,1)$，那么我们就把$H$和整个图像相乘，这样整个图像就恢复了仿射性质。

那么接下来的问题就是说怎么找$l$，我们从图像中找出两个平行线，将其延长，他们肯定相交，这样就是一个点。再重复一遍，这样就有两个点。这两个点就确定了$l$。书上还有另外一个办法，在P51的Example 2.20。

2.7.3 The circular points and their dual

什么是椭圆点我们已经介绍了，所以现在我们来看一下它长什么样。
我们用$I,J$来表示，$I=(1,i,0{)}^T,J=(1,-i,0{)}^T$，这个点为什么不变呢?
因为有如下等式：
$$\begin{gathered} I^{\prime }=H_{s}I \\ =\left[\begin{array}{ccc}s\cos \theta & -s\sin \theta & t_x\\ s\sin \theta & s\cos \theta & t_x\\ s0& 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 0\end{array}\right) \\ =s{e}^{-i\theta }\left(\begin{array}{c}1\\ i\\ 0\end{array}\right) \\ =I \end{gathered}$$

根据上式，我们有如下结论：
结论2.21 椭圆点$I,J$在投影变换下保持不变，当且仅当投影变换是相似变换。

这两个点是怎么找出来的？是圆锥方程与$l_{\infty }$的交点。

*由圆锥点定义的对偶圆锥
我们可以利用$I,J$来定义一个圆锥
$$C_{\infty }^{\ast }=I{J}^T+J{I}^T$$
这个$C_{\infty }^{\ast }$是由直线组成的圆锥，是2.2.3节线圆锥的退化情况。那么它关于谁对偶呢？它是圆锥点的对偶。

$C_{\infty }^{\ast }$在相似变换下也是不变的。所以我们可以有以下结论：

结论2.22 圆锥点$C_{\infty }^{\ast }$在投影变换下保持不变当且仅当投影变换是相似变换。

$C_{\infty }^{\ast }$还有两个性质。1. 有四个自由度 2. $l_{\infty }$是$C_{\infty }^{\ast }$的零向量

2.7.4 Angles on the projective plane

假设有两条直线$l=(l_1,l_2,l_3{)}^T$, $m=(m_1,m_2,m_3{)}^T$，它们之间的夹角就是：
$$\cos \theta =\frac{l_1{m}_1+l_2{m}_2}{\sqrt{(l_1^2+l_2^2)(m_1^2+m_2^2)}}$$

如果对$l,m$施加投影变换，上式就不适用了，为了在投影变换之后还可以计算角度，我们有以下式子存在：
$$\cos \theta =\frac{l^T{C}_{\infty }^{\ast }m}{\sqrt{(l^T{C}_{\infty }^{\ast }l)(m^T{C}_{\infty }^{\ast }m)}}$$

所以说我们知道了$C_{\infty }^{\ast }$就可以计算出线段或者平面之间的角度（结论2.23）。

书中还有一个很明显的结论：如果$l^T{C}_{\infty }^{\ast }m=0$，那么 $l,m$垂直。

2.7.5 恢复图像的度量性质

度量性质就是指角度，线段之间的比例等。主要是用$C_{\infty }^{\ast }$，这是因为在投影变换之下，有下式存在：
$$\begin{gathered} C_{\infty }^{{\ast }^{\prime }}=(H_P{H}_A{H}_S)C_{\infty }^{\ast }(H_P{H}_A{H}_S{)}^T \\ =\left[\begin{array}{cc}K{K}^T& K{K}^{T}v\\ v^{T}K{K}^T& v^{T}K{K}^{T}v\end{array}\right] \end{gathered}$$

$K$是仿射变换左上角的分量，$v$是投影变换的分量。从上式我们可以看出，只要知道$C_{\infty }^{\ast }$就可以求出$C_{\infty }^{{\ast }^{\prime }}$，然后做SVD分解,就可以求出$K,v$。

具体细节可以参考P56 Example2.26。

2.8 More properties of conics

本章也是重点，介绍了点、线、圆锥之间的关系，是对极几何的基础。

2.8.1 The pole–polar relationship

一个点$x$和一个圆锥$C$可以确定一条直线$l=Cx$，这条$l$就叫极线。注意这个点$x$并不在圆锥$C$上，而是在$C$的外边。过$x$可以向$C$做出两条线（注意，这个线不是极线，为了区分我把它叫切线）。每一条切线都和圆锥相切，如下图所示。我们可以想象$x$逐渐向圆锥移动，所以两条切线之间的角度逐渐增大，当$x$位于圆锥之上，两条切线就变成了一条切线。

下面介绍另一个概念：点和线的相关性
定义2.29 相关性是从二维投影空间中的点，到二维投影空间中的线的一个可逆映射。它是一个$3\times 3$的非奇异矩阵（非奇异所以可逆），我们把它表示为$A$，那么整个相关性就可以表示为$l=Ax$。

这个$A$提供了点和线的关系，但是$A$不是对称的。那么如果$A$是对称的，会是什么情况? 这就引出了共轭点的概念：

共轭点 点$y$在由$x$确定的极线上，那么$y$和$x$就是共轭点，表示为$y^{T}l=y^{T}Cx=0$。

所以$C$描述的就是点和线之间的关系。

另外，共轭点有一个性质：$x$如果在$y$的极线上，$y$也会在$x$的极线上。

2.8.2 Classification of conics

圆锥可以确定双曲线、抛物线、椭圆这三种类别。它们分别是用平面和圆锥相交形成的。那么我们如果从投影几何的角度考虑，用无穷远处的直线来和一个椭圆相交，如果没有实交点，那就形成了椭圆，如果有一个交点，那就是抛物线，如果有两个交点, 那就是双曲线，如下图所示：

如果我们从代数的角度考虑，将$C$用SVD分解得到$C=U^{T}DU$，其中$D$就是矩阵的特征值，把$D$再次SVD分解，保证$D$的特征值是-1或1或0，这样根据$D$特征值的不同，就得到不同类型的圆锥，如下表所示：

2.9 Fixed points and lines

我们知道$l_{\infty }$和椭圆点在投影变换下是不变的。那么，如果把一个变换看成矩阵，点和线看成向量，那么什么样的向量在矩阵的作用下不变？特征值对应的向量。所以说那些不变的点和线就是投影矩阵的特征向量。

下面分别介绍不同变换中的固定点：

欧式变换（刚体变换） 其特征值是{$e^{i\theta },e^{-i\theta }$}，2个固定点是前文提到的circular points（椭圆点）。

相似变换 其特征值是{1, $s{e}^{i\theta },s{e}^{-i\theta }$}，2个固定点是前文提到的椭圆点。

仿射变换 2个固定点可以是实点或者复数点，但是通过这些点的固定线$l_{\infty }$在任何情况下都是实的。