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工程问题为常考题型,命题频率相对较高,题型难度属于中等,核心在于效率的有关计算。
1.工作量s、工作效率v、工作时间t三者的关系:
工作量
=
工作效率
×
工作时间(
s
=
v
t
)
工作量=工作效率×工作时间(s=vt)
工作量=工作效率×工作时间(s=vt)
工作时间
=
工作量
工作效率
(
t
=
s
v
)
工作时间=\frac{工作量}{工作效率}(t=\frac{s}{v})
工作时间=工作效率工作量(t=vs)
工作效率
=
工作量
工作时间
(
v
=
s
t
)
工作效率=\frac{工作量}{工作时间}(v=\frac{s}{t})
工作效率=工作时间工作量(v=ts)
2.重要说明
工作量:对于一个题,工作量往往是一定的,可以将总的工作量看做“1"。
工作效率:合作时,总的效率等于各效率的代数和。
3.重要结论
若甲单独完成需要m天,乙单独完成需要n天;则:
(1)甲的效率为
1
m
\frac{1}{m}
m1,乙的效率为
1
n
\frac{1}{n}
n1;
(2)甲乙合作的效率为
1
m
+
1
n
\frac{1}{m}+\frac{1}{n}
m1+n1;
(3)甲乙合作完成需要的时间为
1
1
m
+
1
n
=
m
n
m
+
n
\frac{1}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=\frac{mn}{m+n}
m1+n11=m+nmn。
【注意】上述公式也可以推广到多个,此处不再一一列举。
【评注】工程问题主要抓住工作量、工作效率和工作时间三者的关系,在求解时,可以将总工程量看做1进行分析。在工作量相同时,工作效率与工作时间成反比;工作效率固定时,工作量与工作时间成正比;工作时间相同时,工作量与工作效率成正比。
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工程问题是应用题中仅次于路程问题的一个常考点,既是重点,也是难点。其主要的基本关系式为: 工作时间 × 工作效率 = 工作量 工作时间×工作效率=工作量 工作时间×工作效率=工作量。
本专题主要学习复杂的工程问题,主要有以下三种方法:
第一,利用三个核心参数“工量、功效、工时”,设一个量为未知数来找另外两个量的等量关系;
第二,用好正比反比法;
第三,题目中可以通过转化各个单位效率来快速求解。
对于设份数解题,一般把总工作量设为1,但为了计算更加简便,经常把总工作量设(为所用时间的最小公倍数,利用所给的条件,表达出工作量、工作效率和工作时间中所缺的第三个量。
复杂的工程问题主要涉及多个工作量(两个或三个)、工作效率变化(增加或减少)、工作间歇(干干停停)或者正负效率(牛吃草)等。
题型1 比例法解工程问题
思路:当看到题干的条件是具体工作量的时候,可以采用比例法(正比、反比)进行求解。
题型2 假设法解工程问题
思路:当看到题干给出的是各个单位单独完成的天数,此时将总量设为天数的最小公倍数,使得计算简化。
题型3 转化法解工程问题
思路:当出现一种工作量由多种方式完成的时候,可以将多人转化成一人来进行巧妙解决。
题型4 盈亏工程问题
思路:与路程问题相同,主要利用方程组思路或者用矩形面积法之等积变形来进行求解。
题型5 工程轮流工作问题
思路:轮流工作的关键是先把一个周期的工作量找到,再根据总工作量需要多少周期来寻找天数,最后得到答案,这里主要体现整体与部分的思维模型。
题型6 正负效率问题
思路:正负效率问题也是牛吃草问题,因为这里的一堆草是一个不变的量,而草的量是一个动态变化的量,每天或每周草都在匀速生长,时间越长,草的总量越多,而草的总量由草原上原来的草量和一段时间内新增的草两部分组成。
因此解这类问题的关键是:设法求出牧场上原有的草量和一段时间内新生的草量。由于此类问题一般不给出草量的单位。
第一步,我们通常假设1头牛1天(或1周)吃的草量为单位“1”;
第二步,通过比较两次牛吃的总草量,分别求出每天(或每周)新增的草量和原有的草量;
第三步,将牛一分为二:一部分吃新增的量,一部分吃原有草,即
原有草
÷
(牛的总数量
−
每天吃新增草的牛的数量)
=
天数
原有草÷ (牛的总数量-每天吃新增草的牛的数量)=天数
原有草÷(牛的总数量−每天吃新增草的牛的数量)=天数。
题型7 工作费用的计算
思路:解决工作费用问题不能着急,要列两个方程组:一个是关于工作时间的方程组, 另一个是关于单位价格的方程组。
题型8 变效率工程问题
思路:要学会根据效率变化前后来寻找等量关系。
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总工作量为1
解题方法
(1)当题目不用求出具体的工作量时,可把总工作量设为1。
(2)基本等量关系:
工作效率
=
工作量
工作时间
工作效率=\frac{工作量}{工作时间}
工作效率=工作时间工作量;各部分的工作量之和 = 总工作量。
总工作量为具体值
解题方法
如果某部分工作量已给出具体值,或者总工作量、某部分工作量待求时,可设总工作量为x。
工费问题
解题方法
此类问题一般需要列两组方程组进行求解:
第1组:
工作效率
×
工作时间
=
总工作量
工作效率×工作时间=总工作量
工作效率×工作时间=总工作量;
第2组:
单位时间工费
×
工作时间
=
总工费
单位时间工费×工作时间=总工费
单位时间工费×工作时间=总工费。
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【解题提示】遇到此类问题,通常将整个工程量看成单位1,然后根据题干条件,抓住每个个体的工作量求解。
设总量=1。
工作效率
=
工作量
工作时间
工作效率=\frac{工作量}{工作时间}
工作效率=工作时间工作量,
总量
=
部分量
其对应的比例
总量=\frac{部分量}{其对应的比例}
总量=其对应的比例部分量
若对于计算劳动报酬的题目:
(1)若是以天数计算报酬,则求解出工作天数即可;
(2)若是以工作量计算报酬,则算出每个个体的工作量,按百分比计算报酬即可。
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工作量
=
工作效率
×
工作时间(
s
=
v
t
)
工作量=工作效率×工作时间(s=vt)
工作量=工作效率×工作时间(s=vt);
工作时间
=
工作量
工作效率
工作时间=\frac{工作量}{工作效率}
工作时间=工作效率工作量
(
t
=
s
v
);
(t=\frac{s}{v});
(t=vs);
工作效率
=
工作量
工作时间
工作效率=\frac{工作量}{工作时间}
工作效率=工作时间工作量
(
v
=
s
t
);
(v=\frac{s}{t});
(v=ts);
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一、考点讲解
- 工作效率 = 工作量 工作时间 工作效率=\frac{工作量}{工作时间} 工作效率=工作时间工作量.
- 工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作量=工作效率×工作时间 工作量=工作效率×工作时间.
- 工作时间 = 工作效率作时间 − 工作量 工作时间=工作效率作时间-工作量 工作时间=工作效率作时间−工作量.
- 总效率 = 各效率的代数和 总效率=各效率的代数和 总效率=各效率的代数和.
二、考试解读
- 工程相关的计算公式与路程相似,工效可以看成速度,工量可以看成路程,工时可以看成时间,所以两者可以结合起来记忆。
- 工作量一般分为具体量和抽象量,对于抽象的工作量,可以将总工作量看成1。对于工作效率,可以看成单独完成时间的倒数。
- 此类题的核心参数是工作效率,工作效率是做题关键,一般而言,效率已知的题目比效率未知的题目要简单。当效率未知时,要优先设效率,然后找工作量或工作时间的等量建立方程,工程问题的难点是变效率的工程问题。
- 考试频率级别:高。
三、命题方向
- 求工作时间
思路:根据工作时间=工作量/工作效率分析。 - 求工作量
思路:根据工作量=工作时间×工作效率来分析。 - 轮流工作
思路:轮流工作主要先求出一个周期的工作量,然后预估周期数,最后分析收尾的对象及需要的时间。 - 变效率工程
思路:根据效率变化前后的时间关系列方程求解。此外,对于效率未知的工程问题,优先设效率求解。 - 效率正负
思路:遇到进水排水的工程问题时,可以将进水管的效率看成正的,排水管的效率看成负的。 - 求工钱或费用
思路:此题要找两个量:①各自的工作效率;②各自每天所得到的费用。此外,此类题的运算量较大,也可以采用估算的方式定性判断。
【解题思路】对于工程问题,主要研究工作量、工作效率和工作时间的关系。此外,工程问题的核心是工作效率,所以工作效率是解决问题的突破口。
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工程问题的固定解题思路(通解通法)
A.第一步:先看题目有没有问工作总量
B.如果题目中问了工作总量,设工作总量为S
C.如果题目中没有问工作总量,工作总量永远都是单位1
D.永远只用一个公式进行求解,即s = vt
E.要注意题目中前后单位的一致
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工作量
工作时间
=
工作效率
\frac{工作量}{工作时间}=工作效率
工作时间工作量=工作效率
工作量
工作效率
=
工作时间
\frac{工作量}{工作效率}=工作时间
工作效率工作量=工作时间
工作量=工作时间 × 工作效率
实际解题时,常将工作总量设为1进行分析,如:日工作效率为每天完成工作总量的几分之一。
💭
- 解答工程问题的关键是把工作总量着作“1”,这样,工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几),进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。
(1)工作量 = 工作效率 × 工作时间
(2)工作时间 = 工作量 ÷ 工作效率
(3)工作时间 = 总工作量 ÷(甲工作效率+乙工作效率)
2.解题思路和方法:变通后可以利用上述数量关系的公式,两种方法:
法①:没有给具体每个人的工作量问题,设总量为 “ 1 ”;
法②:已知每个人的工作量,设总量为已知量的最小公倍数。
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工程问题/放水问题
解题提示: 通常将整个工程量(放水量)看成单位1,然后根据题目条件按比例求解。
计算公式:
工作效率 = 完成的工作量 ÷ 工作时间
总量 = 部分量 ÷ 部分量所占的比例
预备知识:
-
一件工程甲队单独做a天完成,则甲队单独做一天完成工程的 1 a \frac{1}{a} a1 。
-
一件工程甲队单独做a天完成,乙队单独做b天完成,则甲、乙两队合作一天完成工程的 1 a + 1 b = a + b a b \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab} a1+b1=aba+b,甲、乙两队合作需 a b a + b \frac{ab}{a+b} a+bab天完成。
-
总抽水量 抽水时间 ( 小时 ) \frac{总抽水量}{抽水时间(小时)} 抽水时间(小时)总抽水量=每小时抽水量
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工程问题为常考题型,命题频率相对较高,题型难度属于中等,核心在于效率的有关计算。
- 工作量s、工作效率v、工作时间t 三者的关系:
工作量 = 工作效率 × 工作时间 工作量=工作效率×工作时间 工作量=工作效率×工作时间 ( s = v t ) (s=vt) (s=vt);
工作时间 = 工作量 工作效率 工作时间=\frac{工作量}{工作效率} 工作时间=工作效率工作量 ( t = s v ) (t=\frac{s}{v}) (t=vs) ;
工作效率 = 工作量 工作时间 工作效率=\frac{工作量}{工作时间} 工作效率=工作时间工作量 ( v = s t ) (v=\frac{s}{t}) (v=ts)。 - 重要说明
工作量:对于一个题,工作量往往是一定的,可以将总的工作量看做“1”。
工作效率:合作时,总的效率等于各效率的代数和。
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命题方向 | 核心技巧 | 备注 |
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模型1:定效工程问题 | ① 列方程;② 比例法;③ 工量转换法 | |
模型2:变效工程问题 | ① 列方程;② 比例法; | |
模型3:效率最优问题 | 极限法讨论最优解 | |
模型4:轮流工作问题 | 明确周期,锁定结尾人 | |
模型5:牛吃草问题 | ① 小牛吃草草也生模型:小牛吃的草=原来的草+新长的草; ②小牛吃草草也枯模型:小牛吃的草=原来的草-枯掉的草 |