300. 最长递增子序列
链接: 300. 最长递增子序列
1.状态表示*
dp[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的「所有⼦序列」中，最⻓递增⼦序列的⻓度。
2.状态转移方程
对于 dp[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：
- i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 dp[i] = 1 ；
- ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ： nums[i] 可以跟在前⾯任何⼀个数后⾯形成⼦序列。 设前⾯的某⼀个数的下标为 j ，其中 0 <= j <= i - 1 。
只要 nums[j] < nums[i] ， i 位置元素跟在 j 元素后⾯就可以形成递增序列，⻓度
为 dp[j] + 1 。
因此，我们仅需找到满⾜要求的最⼤的 dp[j] + 1 即可。
综上， dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]) ，其中 0 <= j <= i - 1 && nums[j]< nums[i]
3. 初始化
所有的元素「单独」都能构成⼀个递增⼦序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。
4. 填表顺序
显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」
5. 返回值
由于不知道最⻓递增⼦序列以谁结尾，因此返回 dp 表⾥⾯的「最⼤值」。
代码：
int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {
int n=nums.size();
vector<int> dp(n,1);
int Max=1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(nums[i]>nums[j])
dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
}
Max=max(Max,dp[i]);
}
return Max;
}
376. 摆动序列
链接: 376. 摆动序列
如果连续数字之间的差严格地在正数和负数之间交替，则数字序列称为 摆动序列 。第一个差（如果存在的话）可能是正数或负数。仅有一个元素或者含两个不等元素的序列也视作摆动序列。
例如， [1, 7, 4, 9, 2, 5] 是一个 摆动序列 ，因为差值 (6, -3, 5, -7, 3) 是正负交替出现的。
相反，[1, 4, 7, 2, 5] 和 [1, 7, 4, 5, 5] 不是摆动序列，第一个序列是因为它的前两个差值都是正数，第二个序列是因为它的最后一个差值为零。
子序列 可以通过从原始序列中删除一些（也可以不删除）元素来获得，剩下的元素保持其原始顺序。
给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中作为 摆动序列 的 最长子序列的长度 。
示例 1：
输入：nums = [1,7,4,9,2,5]
输出：6
解释：整个序列均为摆动序列，各元素之间的差值为 (6, -3, 5, -7, 3) 。
示例 2：
输入：nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8]
输出：7
解释：这个序列包含几个长度为 7 摆动序列。
其中一个是 [1, 17, 10, 13, 10, 16, 8] ，各元素之间的差值为 (16, -7, 3, -3, 6, -8) 。
示例 3：
输入：nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9]
输出：2
1.状态表示*
- f[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「上升趋势」的最⻓摆动序列的⻓度；
- g[i] 表⽰：以 i 位置元素为结尾的所有的⼦序列中，最后⼀个位置呈现「下降趋势」的最⻓摆动序列的⻓度。
2.状态转移方程
由于⼦序列的构成⽐较特殊， i 位置为结尾的⼦序列，前⼀个位置可以是 [0, i - 1] 的任意位置，因此设 j 为 [0, i - 1] 区间内的某⼀个位置。
对于 f[i] ，我们可以根据「⼦序列的构成⽅式」，进⾏分类讨论：
- i. ⼦序列⻓度为 1 ：只能⾃⼰玩了，此时 f[i] = 1
- ii. ⼦序列⻓度⼤于 1 ：因为结尾要呈现上升趋势，因此需要 nums[j] < nums[i] 在满 ⾜这个条件下， j 结尾需要呈现下降状态，最⻓的摆动序列就是 g[j] + 1
因此我们要找出所有满⾜条件下的最⼤的 g[j] + 1 。
综上， f[i] = max(g[j] + 1, f[i]) ，注意使⽤ g[j] 时需要判断。
g[i]则类似。
3. 初始化
所有的元素「单独」都能构成⼀个摆动序列，因此可以将 dp 表内所有元素初始化为 1 。
4. 填表顺序
显⽽易⻅，填表顺序「从左往右」
5. 返回值
应该返回「两个 dp 表⾥⾯的最⼤值」，我们可以在填表的时候，顺便更新⼀个「最⼤值」
代码：
int n=nums.size();
vector<int> f(n,1),g(n,1);
int Max=1;
for(int i=1;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(nums[i]>nums[j])
{
f[i]=max(f[i],g[j]+1);
}
if(nums[i]<nums[j])
{
g[i]=max(f[j]+1,g[i]);
}
Max=max(Max,max(g[i],f[i]));
}
}
return Max;
